有限数学例

$\frac{2 x + 3}{3 x - 7} > 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$2 x + 3 = 0$

$3 x - 7 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x = - 3$

ステップ 3

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{2}$

ステップ 4

方程式の両辺に $7$ を足します。

$3 x = 7$

ステップ 5

$3 x = 7$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$3 x = 7$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{7}{3}$

ステップ 6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{7}{3}$

ステップ 7

解をまとめます。

$x = - \frac{3}{2}, \frac{7}{3}$

ステップ 8

$\frac{2 x + 3}{3 x - 7}$ の定義域を求めます。

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ステップ 8.1

$\frac{2 x + 3}{3 x - 7}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 x - 7 = 0$

ステップ 8.2

$x$ について解きます。

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ステップ 8.2.1

方程式の両辺に $7$ を足します。

$3 x = 7$

ステップ 8.2.2

$3 x = 7$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$3 x = 7$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 8.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 8.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{7}{3}$

ステップ 8.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$

$x > \frac{7}{3}$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - \frac{3}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - \frac{3}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{2 (- 4) + 3}{3 (- 4) - 7} > 0$

ステップ 10.1.3

左辺 $0.26315789$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.2

区間 $- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{2 (0) + 3}{3 (0) - 7} > 0$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 0.\overline{428571}$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.3

区間 $x > \frac{7}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > \frac{7}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\frac{2 (5) + 3}{3 (5) - 7} > 0$

ステップ 10.3.3

左辺 $1.625$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{3}{2}$ 真

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ 偽

$x > \frac{7}{3}$ 真

$x < - \frac{3}{2}$ 真

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ 偽

$x > \frac{7}{3}$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - \frac{3}{2}$ または $x > \frac{7}{3}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x < - \frac{3}{2} or x > \frac{7}{3}$

区間記号：

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

ステップ 13

有限数学 例

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