有限数学例

$y = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x} - \sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x}$

ステップ 1

$\sqrt{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

ステップ 2.2

$x$ を $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

ステップ 2.2.2

$x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + 3 x = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x (3 x) + x \cdot 3 = 0$

ステップ 2.2.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (3 x)$ で因数分解します。

$x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 3 = 0$

ステップ 2.2.5

$x$ を $x (x^{2} + 3 x) + x \cdot 3$ で因数分解します。

$x (x^{2} + 3 x + 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x^{2} + 3 x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} + 3 x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 3 x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} + 3 x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 3$ 、および $c = 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$9$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.4.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.2.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.3

$9$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.4.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.5.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.5.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.5.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.2.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.3

$9$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.5.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.5.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (3) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 2.5.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6

最終解は $x (x^{2} + 3 x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \geq 0$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, 0]$

集合の内包的記法：

${y | y = 0}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $[0, \infty), {x | x \geq 0}$

値域： $[0, 0], {y | y = 0}$

ステップ 6

有限数学 例

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