有限数学例

$\sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9} = y$

ステップ 1

方程式を $y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$ として書き換えます。

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 9}$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$y = \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

ステップ 3

$\sqrt{4 - x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$4 - x \geq 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

不等式の両辺から $4$ を引きます。

$- x \geq - 4$

ステップ 4.2

$- x \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- x \geq - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x \leq 4$

ステップ 5

$\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x + 3) (x - 3) \geq 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 6.2

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6.4

最終解は $(x + 3) (x - 3) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3$

ステップ 6.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 6.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.6.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.6.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 6.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$((- 6) + 3) ((- 6) - 3) \geq 0$

ステップ 6.6.1.3

左辺 $27$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.6.2

区間 $- 3 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.6.2.1

区間 $- 3 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 3) ((0) - 3) \geq 0$

ステップ 6.6.2.3

左辺 $- 9$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.6.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.6.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 6.6.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$((6) + 3) ((6) - 3) \geq 0$

ステップ 6.6.3.3

左辺 $27$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 6.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 3$ または $x \geq 3$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 3] \cup [3, 4]$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 3, 3 \leq x \leq 4}$

ステップ 8

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

解がありません

ステップ 9

定義域と値域を判定します。

解がありません

ステップ 10

有限数学 例

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