有限数学例

$y = \sqrt{12 + x - x^{2}}$

ステップ 1

$\sqrt{12 + x - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$12 + x - x^{2} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$12 + x - x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ を $12 + x - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$12$ を移動させます。

$x - x^{2} + 12 = 0$

ステップ 2.2.1.1.2

$x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + x + 12 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$12$ を $- 1 (- 12)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

ステップ 2.2.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 12$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $- 1$ です。

$- 4, 3$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

最終解は $- (x - 4) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 3$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$12 - 6 - {(- 6)}^{2} \geq 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $- 30$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.8.2

区間 $- 3 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間 $- 3 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$12 + 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $12$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.8.3

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$12 + 6 - {(6)}^{2} \geq 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $- 18$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 \leq x \leq 4$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 3, 4]$

集合の内包的記法：

${x | - 3 \leq x \leq 4}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[0, \frac{7}{2}]$

集合の内包的記法：

${y | 0 \leq y \leq \frac{7}{2}}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $[- 3, 4], {x | - 3 \leq x \leq 4}$

値域： $[0, \frac{7}{2}], {y | 0 \leq y \leq \frac{7}{2}}$

ステップ 6

有限数学 例

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