有限数学例

$x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y - 73 = 0$

ステップ 1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = x^{2} + 4 x - 73$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.2

$x^{2} + 4 x - 73$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3

$- 4$ から $73$ を引きます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.4

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 77$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 77$ で、その和が $4$ です。

$- 7, 11$

ステップ 3.1.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.5

$- 4 (x - 7) (x + 11)$ を $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.5.3

括弧を付けます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.5.4

括弧を付けます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

ステップ 3.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ を簡約します。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

ステップ 4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2

$x^{2} + 4 x - 73$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3

$- 4$ から $73$ を引きます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 77$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 77$ で、その和が $4$ です。

$- 7, 11$

ステップ 4.1.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5

$- 4 (x - 7) (x + 11)$ を $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5.3

括弧を付けます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5.4

括弧を付けます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

ステップ 4.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ を簡約します。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

ステップ 4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

$- 4$ を ${(- 4)}^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.1.2

$- 4$ を $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73)$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.1.3

$- 4$ を $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 73))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

$x^{2} + 4 x - 73$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} + 4 x - 73)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

$- 4$ から $73$ を引きます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} + 4 x - 77)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 77$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 77$ で、その和が $4$ です。

$- 7, 11$

ステップ 5.1.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5

$- 4 (x - 7) (x + 11)$ を $2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.3

括弧を付けます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 7) (x + 11)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.4

括弧を付けます。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 7) (x + 11))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$

ステップ 5.3

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}}{2}$ を簡約します。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

ステップ 5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

ステップ 6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$

ステップ 7

$\sqrt{- 1 (x - 7) (x + 11)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 7 = 0$

$x + 11 = 0$

ステップ 8.2

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.2.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 8.3

$x + 11$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.3.1

$x + 11$ が $0$ に等しいとします。

$x + 11 = 0$

ステップ 8.3.2

方程式の両辺から $11$ を引きます。

$x = - 11$

ステップ 8.4

最終解は $- 1 (x - 7) (x + 11) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = 7, - 11$

ステップ 8.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 11$

$- 11 < x < 7$

$x > 7$

ステップ 8.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.6.1

区間 $x < - 11$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1.1

区間 $x < - 11$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 14$

ステップ 8.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 14$ で置き換えます。

$- 1 ((- 14) - 7) ((- 14) + 11) \geq 0$

ステップ 8.6.1.3

左辺 $- 63$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.2

区間 $- 11 < x < 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.2.1

区間 $- 11 < x < 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$- 1 ((0) - 7) ((0) + 11) \geq 0$

ステップ 8.6.2.3

左辺 $77$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.6.3

区間 $x > 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.3.1

区間 $x > 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 8.6.3.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$- 1 ((10) - 7) ((10) + 11) \geq 0$

ステップ 8.6.3.3

左辺 $- 63$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 11$ 偽

$- 11 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

$x < - 11$ 偽

$- 11 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

ステップ 8.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 11 \leq x \leq 7$

ステップ 9

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 11, 7]$

集合の内包的記法：

${x | - 11 \leq x \leq 7}$

ステップ 10

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 7, 11]$

集合の内包的記法：

${y | - 7 \leq y \leq 11}$

ステップ 11

定義域と値域を判定します。

定義域： $[- 11, 7], {x | - 11 \leq x \leq 7}$

値域： $[- 7, 11], {y | - 7 \leq y \leq 11}$

ステップ 12

有限数学 例

有限数学例