有限数学例

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{x^{2}}{4}$ を引きます。

$- \frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{4}$

ステップ 2

方程式の両辺に $- 9$ を掛けます。

$- 9 (- \frac{y^{2}}{9}) = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

ステップ 3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- 9 (- \frac{y^{2}}{9})$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1.1

$- \frac{y^{2}}{9}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 9 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

ステップ 3.1.1.1.2

$9$ を $- 9$ で因数分解します。

$9 (- 1) \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

ステップ 3.1.1.1.3

共通因数を約分します。

$9 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{9} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

ステップ 3.1.1.1.4

式を書き換えます。

$- - y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

ステップ 3.1.1.2

掛け算します。

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ステップ 3.1.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

ステップ 3.1.1.2.2

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = - 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 9 (1 - \frac{x^{2}}{4})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = - 9 \cdot 1 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

ステップ 3.2.1.2

$- 9$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = - 9 - 9 (- \frac{x^{2}}{4})$

ステップ 3.2.1.3

$- 9 (- \frac{x^{2}}{4})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.3.1

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$y^{2} = - 9 + 9 \frac{x^{2}}{4}$

ステップ 3.2.1.3.2

$9$ と $\frac{x^{2}}{4}$ をまとめます。

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4}$

ステップ 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$9 x^{2}$ を ${(3 x)}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{4}}$

ステップ 5.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3

$\frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}$ を ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 9 + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

ステップ 5.4

式を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 3^{2} + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

ステップ 5.4.2

$- 3^{2}$ と ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3 x}{2})}^{2} - 3^{2}}$

ステップ 5.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{3 x}{2}$ であり、 $b = 3$ です。

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

ステップ 5.6

簡約します。

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ステップ 5.6.1

$3$ を $\frac{3 x}{2} + 3$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.1.1

$3$ を $\frac{3 x}{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

ステップ 5.6.1.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3 (1)) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

ステップ 5.6.1.3

$3$ を $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

ステップ 5.6.2

$3$ を $\frac{3 x}{2} - 3$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.2.1

$3$ を $\frac{3 x}{2}$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} - 3)}$

ステップ 5.6.2.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} + 3 (- 1))}$

ステップ 5.6.2.3

$3$ を $3 \frac{x}{2} + 3 (- 1)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 (\frac{x}{2} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) \cdot 3 (\frac{x}{2} - 1)}$

ステップ 5.6.3

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}$

ステップ 5.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}$

ステップ 5.8

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}$

ステップ 5.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}$

ステップ 5.10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}$

ステップ 5.11

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 5.12

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 2}{2}}$

ステップ 5.13

指数をまとめます。

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ステップ 5.13.1

$9$ と $\frac{x + 2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2)}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}$

ステップ 5.13.2

$\frac{9 (x + 2)}{2}$ に $\frac{x - 2}{2}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}$

ステップ 5.13.3

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}}$

ステップ 5.14

$\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}$ を ${(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ に書き換えます。

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ステップ 5.14.1

$9 (x + 2) (x - 2)$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}$

ステップ 5.14.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 5.14.3

分数 $\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

ステップ 5.15

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{3}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 5.16

$\frac{3}{2}$ と $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

ステップ 6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

ステップ 7

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 8.2

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 8.3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 8.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 8.4

最終解は $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2$

ステップ 8.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 8.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.6.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 8.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

ステップ 8.6.1.3

左辺 $12$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.6.2

区間 $- 2 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.2.1

区間 $- 2 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

ステップ 8.6.2.3

左辺 $- 4$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.3

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.3.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 8.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

ステップ 8.6.3.3

左辺 $12$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 8.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 2$ または $x \geq 2$

ステップ 9

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

ステップ 10

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \in ℝ}$

ステップ 11

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 2] \cup [2, \infty), {x | x \leq - 2, x \geq 2}$

値域： $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

ステップ 12

有限数学 例

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