有限数学例

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{x^{2}}{225}$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{625} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

ステップ 2

方程式の両辺に $625$ を掛けます。

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$625$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$625 \frac{y^{2}}{625} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$625 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 625 \cdot 1 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3.2.1.2

$625$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 625 + 625 (- \frac{x^{2}}{225})$

ステップ 3.2.1.3

$25$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{225}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = 625 + 625 \frac{- x^{2}}{225}$

ステップ 3.2.1.3.2

$25$ を $625$ で因数分解します。

$y^{2} = 625 + 25 (25) \frac{- x^{2}}{225}$

ステップ 3.2.1.3.3

$25$ を $225$ で因数分解します。

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

ステップ 3.2.1.3.4

共通因数を約分します。

$y^{2} = 625 + 25 \cdot 25 \frac{- x^{2}}{25 \cdot 9}$

ステップ 3.2.1.3.5

式を書き換えます。

$y^{2} = 625 + 25 \frac{- x^{2}}{9}$

ステップ 3.2.1.4

$25$ と $\frac{- x^{2}}{9}$ をまとめます。

$y^{2} = 625 + \frac{25 (- x^{2})}{9}$

ステップ 3.2.1.5

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1.5.1

$- 1$ に $25$ をかけます。

$y^{2} = 625 + \frac{- 25 x^{2}}{9}$

ステップ 3.2.1.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = 625 - \frac{25 x^{2}}{9}$

ステップ 4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{625 - \frac{25 x^{2}}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 5.1.1

$625$ を $25^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{25^{2} - \frac{25 x^{2}}{9}}$

ステップ 5.1.2

$\frac{25 x^{2}}{9}$ を ${(\frac{5 x}{3})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{25^{2} - {(\frac{5 x}{3})}^{2}}$

ステップ 5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 25$ であり、 $b = \frac{5 x}{3}$ です。

$y = \pm \sqrt{(25 + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

ステップ 5.3

$25$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{(25 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

ステップ 5.4

項を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$25$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{(\frac{25 \cdot 3}{3} + \frac{5 x}{3}) (25 - \frac{5 x}{3})}$

ステップ 5.4.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 3 + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

ステップ 5.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$5$ を $25 \cdot 3 + 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1.1

$5$ を $25 \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 x}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

ステップ 5.5.1.2

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

ステップ 5.5.1.3

$5$ を $5 (5 \cdot 3) + 5 (x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (5 \cdot 3 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

ステップ 5.5.2

$5$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 - \frac{5 x}{3})}$

ステップ 5.6

$25$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (25 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

ステップ 5.7

項を簡約します。

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ステップ 5.7.1

$25$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} (\frac{25 \cdot 3}{3} - \frac{5 x}{3})}$

ステップ 5.7.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{25 \cdot 3 - 5 x}{3}}$

ステップ 5.8

分子を簡約します。

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ステップ 5.8.1

$5$ を $25 \cdot 3 - 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 5.8.1.1

$5$ を $25 \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) - 5 x}{3}}$

ステップ 5.8.1.2

$5$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)}{3}}$

ステップ 5.8.1.3

$5$ を $5 (5 \cdot 3) + 5 (- x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (5 \cdot 3 - x)}{3}}$

ステップ 5.8.2

$5$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x)}{3} \cdot \frac{5 (15 - x)}{3}}$

ステップ 5.9

分数をまとめます。

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ステップ 5.9.1

$\frac{5 (15 + x)}{3}$ に $\frac{5 (15 - x)}{3}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{5 (15 + x) (5 (15 - x))}{3 \cdot 3}}$

ステップ 5.9.2

掛け算します。

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ステップ 5.9.2.1

$5$ に $5$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{3 \cdot 3}}$

ステップ 5.9.2.2

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}}$

ステップ 5.10

$\frac{25 (15 + x) (15 - x)}{9}$ を ${(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 5.10.1

$25 (15 + x) (15 - x)$ から完全累乗 $5^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{9}}$

ステップ 5.10.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

ステップ 5.10.3

分数 $\frac{5^{2} ((15 + x) (15 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{3})}^{2} ((15 + x) (15 - x))}$

ステップ 5.11

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{5}{3} \sqrt{(15 + x) (15 - x)}$

ステップ 5.12

$\frac{5}{3}$ と $\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

ステップ 6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(15 + x) (15 - x)}}{3}$

ステップ 7

$\sqrt{(15 + x) (15 - x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(15 + x) (15 - x) \geq 0$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$15 + x = 0$

$15 - x = 0$

ステップ 8.2

$15 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.2.1

$15 + x$ が $0$ に等しいとします。

$15 + x = 0$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺から $15$ を引きます。

$x = - 15$

ステップ 8.3

$15 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.3.1

$15 - x$ が $0$ に等しいとします。

$15 - x = 0$

ステップ 8.3.2

$x$ について $15 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 8.3.2.1

方程式の両辺から $15$ を引きます。

$- x = - 15$

ステップ 8.3.2.2

$- x = - 15$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.3.2.2.1

$- x = - 15$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 15}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.2.3.1

$- 15$ を $- 1$ で割ります。

$x = 15$

ステップ 8.4

最終解は $(15 + x) (15 - x) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 15, 15$

ステップ 8.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

ステップ 8.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.6.1

区間 $x < - 15$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.1.1

区間 $x < - 15$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 18$

ステップ 8.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 18$ で置き換えます。

$(15 - 18) (15 - (- 18)) \geq 0$

ステップ 8.6.1.3

左辺 $- 99$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.6.2

区間 $- 15 < x < 15$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.2.1

区間 $- 15 < x < 15$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(15 + 0) (15 - (0)) \geq 0$

ステップ 8.6.2.3

左辺 $225$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 8.6.3

区間 $x > 15$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.3.1

区間 $x > 15$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 18$

ステップ 8.6.3.2

$x$ を元の不等式の $18$ で置き換えます。

$(15 + 18) (15 - (18)) \geq 0$

ステップ 8.6.3.3

左辺 $- 99$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 8.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 15$ 偽

$- 15 < x < 15$ 真

$x > 15$ 偽

$x < - 15$ 偽

$- 15 < x < 15$ 真

$x > 15$ 偽

ステップ 8.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 15 \leq x \leq 15$

ステップ 9

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 15, 15]$

集合の内包的記法：

${x | - 15 \leq x \leq 15}$

ステップ 10

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 25, 25]$

集合の内包的記法：

${y | - 25 \leq y \leq 25}$

ステップ 11

定義域と値域を判定します。

定義域： $[- 15, 15], {x | - 15 \leq x \leq 15}$

値域： $[- 25, 25], {y | - 25 \leq y \leq 25}$

ステップ 12

有限数学 例

有限数学例