有限数学例

${(x + \frac{3}{4})}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16}$

ステップ 1

方程式の両辺から ${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ を引きます。

${(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}$

ステップ 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$

ステップ 3

$\pm \sqrt{\frac{25}{16} - {(x + \frac{3}{4})}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

${(x + \frac{3}{4})}^{2}$ を $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ に書き換えます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - ((x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4}))}$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + \frac{3}{4}) (x + \frac{3}{4})$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x (x + \frac{3}{4}) + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} (x + \frac{3}{4}))}$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x \cdot x + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + x \frac{3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

ステップ 3.3.1.2

$x$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

ステップ 3.3.1.3

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 \cdot x}{4} + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{3}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4})}$

ステップ 3.3.1.5

$\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.5.1

$\frac{3}{4}$ に $\frac{3}{4}$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 4})}$

ステップ 3.3.1.5.2

$3$ に $3$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4 \cdot 4})}$

ステップ 3.3.1.5.3

$4$ に $4$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

ステップ 3.3.2

$\frac{3 x}{4}$ と $\frac{3 x}{4}$ をたし算します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{4} + \frac{9}{16})}$

ステップ 3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 (2)} + \frac{9}{16})}$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + 2 \frac{3 x}{2 \cdot 2} + \frac{9}{16})}$

ステップ 3.4.3

式を書き換えます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - (x^{2} + \frac{3 x}{2} + \frac{9}{16})}$

ステップ 3.5

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{25}{16} - x^{2} - \frac{3 x}{2} - \frac{9}{16}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

公分母の分子をまとめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{25 - 9}{16}}$

ステップ 3.6.2

$25$ から $9$ を引きます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{16}{16}}$

ステップ 3.6.3

$16$ を $16$ で割ります。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

ステップ 3.7

$- x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

ステップ 3.8

項を簡約します。

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ステップ 3.8.1

$- x^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 x}{2} + 1}$

ステップ 3.8.2

公分母の分子をまとめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- x^{2} \cdot 2 - 3 x}{2} + 1}$

ステップ 3.9

分子を簡約します。

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ステップ 3.9.1

$x$ を $- x^{2} \cdot 2 - 3 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1.1

$x$ を $- x^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) - 3 x}{2} + 1}$

ステップ 3.9.1.2

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3}{2} + 1}$

ステップ 3.9.1.3

$x$ を $x (- x \cdot 2) + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- x \cdot 2 - 3)}{2} + 1}$

ステップ 3.9.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + 1}$

ステップ 3.10

1つの分数にまとめます。

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ステップ 3.10.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3)}{2} + \frac{2}{2}}$

ステップ 3.10.2

公分母の分子をまとめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x - 3) + 2}{2}}$

ステップ 3.11

分子を簡約します。

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ステップ 3.11.1

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x) + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

ステップ 3.11.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2}{2}}$

ステップ 3.11.3

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x \cdot x - 3 \cdot x + 2}{2}}$

ステップ 3.11.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.4.1

$x$ を移動させます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 (x \cdot x) - 3 \cdot x + 2}{2}}$

ステップ 3.11.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 \cdot x + 2}{2}}$

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 x + 2}{2}}$

ステップ 3.11.5

群による因数分解。

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ステップ 3.11.5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 2 \cdot 2 = - 4$ で和が $b = - 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.11.5.1.1

$- 3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} - 3 (x) + 2}{2}}$

ステップ 3.11.5.1.2

$- 3$ を $1$ プラス $- 4$ に書き換える

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + (1 - 4) x + 2}{2}}$

ステップ 3.11.5.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + 1 x - 4 x + 2}{2}}$

ステップ 3.11.5.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{- 2 x^{2} + x - 4 x + 2}{2}}$

ステップ 3.11.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.11.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x^{2} + x) - 4 x + 2}{2}}$

ステップ 3.11.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{x (- 2 x + 1) + 2 (- 2 x + 1)}{2}}$

ステップ 3.11.5.3

最大公約数 $- 2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$

ステップ 3.12

$\sqrt{\frac{(- 2 x + 1) (x + 2)}{2}}$ を $\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.13

$\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 3.14

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.14.1

$\frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 3.14.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 3.14.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 3.14.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.14.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 3.14.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.14.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.14.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.14.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.14.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.14.6.4.1

共通因数を約分します。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.14.6.4.2

式を書き換えます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 3.14.6.5

指数を求めます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2)} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 3.15

根の積の法則を使ってまとめます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$

ステップ 3.16

$\pm \frac{\sqrt{(- 2 x + 1) (x + 2) \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$y - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $\frac{1}{2}$ を足します。

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.3

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y - \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2}$

ステップ 4.4

方程式の両辺に $\frac{1}{2}$ を足します。

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 5

$\sqrt{2 (- 2 x + 1) (x + 2)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- 2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 6.2

$- 2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

$- 2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 x + 1 = 0$

ステップ 6.2.2

$x$ について $- 2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 x = - 1$

ステップ 6.2.2.2

$- 2 x = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$- 2 x = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 6.2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 6.2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 6.2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 6.3

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.3.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6.4

最終解は $2 (- 2 x + 1) (x + 2) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{2}, - 2$

ステップ 6.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

ステップ 6.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.6.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.6.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 6.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$2 (- 2 \cdot - 4 + 1) ((- 4) + 2) \geq 0$

ステップ 6.6.1.3

左辺 $- 36$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.6.2

区間 $- 2 < x < \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.6.2.1

区間 $- 2 < x < \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$2 (- 2 \cdot 0 + 1) ((0) + 2) \geq 0$

ステップ 6.6.2.3

左辺 $4$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.6.3

区間 $x > \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.6.3.1

区間 $x > \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 6.6.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$2 (- 2 \cdot 3 + 1) ((3) + 2) \geq 0$

ステップ 6.6.3.3

左辺 $- 50$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ 真

$x > \frac{1}{2}$ 偽

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < \frac{1}{2}$ 真

$x > \frac{1}{2}$ 偽

ステップ 6.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 2 \leq x \leq \frac{1}{2}$

ステップ 7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 2, \frac{1}{2}]$

集合の内包的記法：

${x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

ステップ 8

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}]$

集合の内包的記法：

${y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

ステップ 9

定義域と値域を判定します。

定義域： $[- 2, \frac{1}{2}], {x | - 2 \leq x \leq \frac{1}{2}}$

値域： $[- \frac{3}{4}, \frac{7}{4}], {y | - \frac{3}{4} \leq y \leq \frac{7}{4}}$

ステップ 10

有限数学 例

有限数学例