有限数学例

$f (x) = \sqrt{x}$ , $g (x) = \sqrt{4 - x^{2}}$

ステップ 1

関数の商を求めます。

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ステップ 1.1

関数指示子を $\frac{f (x)}{g (x)}$ の実際の関数に置き換えます。

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}}$

ステップ 1.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

ステップ 1.2.2

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

ステップ 1.2.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

ステップ 1.2.3.2

$\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}$

ステップ 1.2.3.3

$\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1} {\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1}}$

ステップ 1.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}}$

ステップ 1.2.3.6

${\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}^{2}$ を $(2 + x) (2 - x)$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ を ${((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{({((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{{((2 + x) (2 - x))}^{1}}$

ステップ 1.2.3.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

ステップ 1.2.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$

ステップ 2

$\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x (2 + x) (2 - x) \geq 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.3

$2 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.1

$2 + x$ が $0$ に等しいとします。

$2 + x = 0$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3.4

$2 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$2 - x$ が $0$ に等しいとします。

$2 - x = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $2 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x = - 2$

ステップ 3.4.2.2

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 3.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 3.5

最終解は $x (2 + x) (2 - x) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2, 2$

ステップ 3.6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 3.7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 3.7.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.7.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 3.7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$- 4 (2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

ステップ 3.7.1.3

左辺 $48$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.7.2

区間 $- 2 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.7.2.1

区間 $- 2 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1$

ステップ 3.7.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1$ で置き換えます。

$- 1 (2 - 1) (2 - (- 1)) \geq 0$

ステップ 3.7.2.3

左辺 $- 3$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 3.7.3

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.7.3.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 3.7.3.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$1 (2 + 1) (2 - (1)) \geq 0$

ステップ 3.7.3.3

左辺 $3$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.7.4

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.7.4.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 3.7.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$4 (2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

ステップ 3.7.4.3

左辺 $- 48$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 3.7.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 3.8

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 2$ または $0 \leq x \leq 2$

ステップ 4

$\frac{\sqrt{x (2 + x) (2 - x)}}{(2 + x) (2 - x)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(2 + x) (2 - x) = 0$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

ステップ 5.2

$2 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

$2 + x$ が $0$ に等しいとします。

$2 + x = 0$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 5.3

$2 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.3.1

$2 - x$ が $0$ に等しいとします。

$2 - x = 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について $2 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 5.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- x = - 2$

ステップ 5.3.2.2

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$- x = - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.3.1

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 5.4

最終解は $(2 + x) (2 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2$

ステップ 6

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 2) \cup [0, 2)$

集合の内包的記法：

${x | x < - 2, 0 \leq x < 2}$

ステップ 7

有限数学 例

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