有限数学例

$u = (5, - 4)$ , $v = (2, 1)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

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ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 5 \cdot 2 - 4 \cdot 1$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$5$ に $2$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 - 4 \cdot 1$

ステップ 2.2.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 10 - 4$

ステップ 2.2.2

$10$ から $4$ を引きます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 6$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2} + {(- 4)}^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{25 + {(- 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 16}$

ステップ 3.2.3

$25$ と $16$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{41}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 1^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2}}$

ステップ 4.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

ステップ 4.2.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{5}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{41} \sqrt{5}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{41 \cdot 5}})$

ステップ 6.1.2

$41$ に $5$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{205}})$

ステップ 6.2

$\frac{6}{\sqrt{205}}$ に $\frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{6}{\sqrt{205}} \cdot \frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}})$

ステップ 6.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{6}{\sqrt{205}}$ に $\frac{\sqrt{205}}{\sqrt{205}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{205}}{\sqrt{205} \sqrt{205}})$

ステップ 6.3.2

$\sqrt{205}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1} \sqrt{205}})$

ステップ 6.3.3

$\sqrt{205}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1} {\sqrt{205}}^{1}})$

ステップ 6.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{205}}{{\sqrt{205}}^{2}})$

ステップ 6.3.6

${\sqrt{205}}^{2}$ を $205$ に書き換えます。

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ステップ 6.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{205}$ を $205^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{205}}{{(205^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{205}}{205^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{205}}{205^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{205}}{205^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.6.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{205}}{205^{1}})$

ステップ 6.3.6.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{6 \sqrt{205}}{205})$

ステップ 6.4

$\arccos (\frac{6 \sqrt{205}}{205})$ の値を求めます。

$θ = 65.22485943$

有限数学 例

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