有限数学例

$(9, 8)$ , $(9, 3)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

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ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot 9 + 8 \cdot 3$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$9$ に $9$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 8 \cdot 3$

ステップ 2.2.1.2

$8$ に $3$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 81 + 24$

ステップ 2.2.2

$81$ と $24$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = 105$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + 8^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$9$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 8^{2}}$

ステップ 3.2.2

$8$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 64}$

ステップ 3.2.3

$81$ と $64$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{145}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 3^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$9$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 3^{2}}$

ステップ 4.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 9}$

ステップ 4.2.3

$81$ と $9$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{90}$

ステップ 4.2.4

$90$ を $3^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.4.1

$9$ を $90$ で因数分解します。

$| b⃗ | = \sqrt{9 (10)}$

ステップ 4.2.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

ステップ 4.2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$| b⃗ | = 3 \sqrt{10}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{105}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$105$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

$3$ を $105$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{\sqrt{145} (3 \sqrt{10})})$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

$3$ を $\sqrt{145} (3 \sqrt{10})$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 35}{3 (\sqrt{145} (\sqrt{10}))})$

ステップ 6.1.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145} (\sqrt{10})})$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{145 \cdot 10}})$

ステップ 6.2.2

$145$ に $10$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{1450}})$

ステップ 6.3

分母を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$1450$ を $5^{2} \cdot 58$ に書き換えます。

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ステップ 6.3.1.1

$25$ を $1450$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{25 (58)}})$

ステップ 6.3.1.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{35}{\sqrt{5^{2} \cdot 58}})$

ステップ 6.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$θ = \arccos (\frac{35}{5 \sqrt{58}})$

ステップ 6.4

$35$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1

$5$ を $35$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1

$5$ を $5 \sqrt{58}$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 (\sqrt{58})})$

ステップ 6.4.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot 7}{5 \sqrt{58}})$

ステップ 6.4.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}})$

ステップ 6.5

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ に $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{7}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}})$

ステップ 6.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.6.1

$\frac{7}{\sqrt{58}}$ に $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}})$

ステップ 6.6.2

$\sqrt{58}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}})$

ステップ 6.6.3

$\sqrt{58}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}})$

ステップ 6.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}})$

ステップ 6.6.6

${\sqrt{58}}^{2}$ を $58$ に書き換えます。

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ステップ 6.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{58}$ を $58^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.6.6.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58^{1}})$

ステップ 6.6.6.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$

ステップ 6.7

$\arccos (\frac{7 \sqrt{58}}{58})$ の値を求めます。

$θ = 23.19859051$

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