有限数学例

f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1

有理関数は、分母が

0

$0$ ではない2つの多項式関数の比率として記述できる任意の関数です。

f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ は有理関数です

ステップ 2

有理関数は、分子の次数が分母の次数より小さいときは真、そうでないときは仮となります。

分子の次数が分母の次数より小さいとき、真の関数であることを示唆します

分子の次数が分母の次数より大きいとき、偽の関数であることを示唆します

分子の次数と分母の次数が等しいとき、偽の関数であることを示唆します

ステップ 3

分子の次数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

簡約し、多項式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

二項定理を利用します。

{(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}

${(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

積の法則を

3 x

$3 x$ に当てはめます。

3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}

$3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.2

3

$3$ を

3

$3$ 乗します。

27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.3

積の法則を

3 x

$3 x$ に当てはめます。

27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.4

指数を足して

3

$3$ に

3^{2}

$3^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.1

3^{2}

$3^{2}$ を移動させます。

27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.4.2

3^{2}

$3^{2}$ に

3

$3$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.2.1

3

$3$ を

1

$1$ 乗します。

27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.4.2.2

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.4.3

2

$2$ と

1

$1$ をたし算します。

27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.5

3

$3$ を

3

$3$ 乗します。

27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.6

- 1

$- 1$ に

27

$27$ をかけます。

27 x^{3} - 27 x^{2} + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.7

3

$3$ に

3

$3$ をかけます。

27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.8

- 1

$- 1$ を

2

$2$ 乗します。

27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.9

9

$9$ に

1

$1$ をかけます。

27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x + {(- 1)}^{3}

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.10

- 1

$- 1$ を

3

$3$ 乗します。

27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

ステップ 3.2

最大指数は多項式の次数です。

3

$3$

3

$3$

ステップ 4

分母の次数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

簡約し、多項式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

{(x^{2} + 1)}^{2}

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を

(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ に書き換えます。

(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$

ステップ 4.1.2

分配法則（FOIL法）を使って

(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分配則を当てはめます。

x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)

$x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

ステップ 4.1.2.2

分配則を当てはめます。

x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)$

ステップ 4.1.2.3

分配則を当てはめます。

x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1

指数を足して

x^{2}

$x^{2}$ に

x^{2}

$x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1.1

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.1.1.2

2

$2$ と

2

$2$ をたし算します。

x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.1.2

$x^{2}$ に

$1$ をかけます。

$x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.1.3

$x^{2}$ に

$1$ をかけます。

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.1.4

$1$ に

$1$ をかけます。

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1$

ステップ 4.1.3.2

$x^{2}$ と

$x^{2}$ をたし算します。

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

ステップ 4.2

最大指数は多項式の次数です。

$4$

ステップ 5

分子

$3$ の次数は、分母

$4$ の次数より小さいです。

$3 < 4$

ステップ 6

分子の次数は、分母の次数より小さいです。つまり

$f (x)$ は真分数です。

真

有限数学 例

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