有限数学例

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1

有理関数は、分母が $0$ ではない2つの多項式関数の比率として記述できる任意の関数です。

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ は有理関数です

ステップ 2

有理関数は、分子の次数が分母の次数より小さいときは真、そうでないときは仮となります。

分子の次数が分母の次数より小さいとき、真の関数であることを示唆します

分子の次数が分母の次数より大きいとき、偽の関数であることを示唆します

分子の次数と分母の次数が等しいとき、偽の関数であることを示唆します

ステップ 3

分子の次数を求めます。

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ステップ 3.1

簡約し、多項式を並べ替えます。

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ステップ 3.1.1

二項定理を利用します。

${(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.3

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.4

指数を足して $3$ に $3^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.2.4.1

$3^{2}$ を移動させます。

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.4.2

$3^{2}$ に $3$ をかけます。

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ステップ 3.1.2.4.2.1

$3$ を $1$ 乗します。

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.4.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.5

$3$ を $3$ 乗します。

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.6

$- 1$ に $27$ をかけます。

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.7

$3$ に $3$ をかけます。

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.9

$9$ に $1$ をかけます。

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x + {(- 1)}^{3}$

ステップ 3.1.2.10

$- 1$ を $3$ 乗します。

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

ステップ 3.2

最大指数は多項式の次数です。

$3$

ステップ 4

分母の次数を求めます。

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ステップ 4.1

簡約し、多項式を並べ替えます。

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ステップ 4.1.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$

ステップ 4.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ を展開します。

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ステップ 4.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

ステップ 4.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)$

ステップ 4.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.1.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.1.4

$1$ に $1$ をかけます。

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1$

ステップ 4.1.3.2

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

ステップ 4.2

最大指数は多項式の次数です。

$4$

ステップ 5

分子 $3$ の次数は、分母 $4$ の次数より小さいです。

$3 < 4$

ステップ 6

分子の次数は、分母の次数より小さいです。つまり $f (x)$ は真分数です。

真

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