有限数学例

$x^{4} - x^{3} - x^{2} + 2 x + 1$

ステップ 1

項を再分類します。

$x^{4} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

ステップ 2

$x^{2}$ を $x^{4} - x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} - x^{2} - x^{3} + 2 x + 1$

ステップ 2.2

$x^{2}$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - x^{3} + 2 x + 1$

ステップ 2.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

ステップ 3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - x^{3} + 2 x + 1$

ステップ 4

因数分解。

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ステップ 4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $i = 1$ です。

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - x^{3} + 2 x + 1$

ステップ 4.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - x^{3} + 2 x + 1$

ステップ 5

有理根検定を用いて $- x^{3} + 2 x + 1$ を因数分解します。

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ステップ 5.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

ステップ 5.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1$

ステップ 5.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

$- {(- 1)}^{3} + 2 \cdot - 1 + 1$

ステップ 5.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- - 1 + 2 \cdot - 1 + 1$

ステップ 5.3.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 2 \cdot - 1 + 1$

ステップ 5.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 2 + 1$

ステップ 5.3.5

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1 + 1$

ステップ 5.3.6

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$0$

ステップ 5.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- x^{3} + 2 x + 1}{x + 1}$

ステップ 5.5

$- x^{3} + 2 x + 1$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 5.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

ステップ 5.5.2

被除数 $- x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

ステップ 5.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 5.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 5.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

ステップ 5.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 5.5.7

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 5.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

ステップ 5.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + x$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

ステップ 5.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$

ステップ 5.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

ステップ 5.5.12

被除数 $x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$

ステップ 5.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							+	$x$	+	$1$

ステップ 5.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $x + 1$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$

ステップ 5.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$
										$0$

ステップ 5.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- x^{2} + x + 1$

ステップ 5.6

$- x^{3} + 2 x + 1$ を因数の集合として書き換えます。

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

ステップ 6

$x + 1$ を $x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ で因数分解します。

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ステップ 6.1

$x + 1$ を $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$

ステップ 6.2

$x + 1$ を $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (- x^{2} + x + 1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) - x^{2} + x + 1)$

ステップ 7

分配則を当てはめます。

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

ステップ 8

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 8.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 8.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x + 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

ステップ 8.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

ステップ 8.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 - x^{2} + x + 1)$

ステップ 9

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} - x^{2} + x + 1)$

ステップ 10

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - x^{2} + x + 1)$

ステップ 11

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2} + x + 1)$

有限数学 例

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