有限数学例

$\tan (\frac{5 π}{6} + \frac{3 π}{4})$

ステップ 1

$\frac{5 π}{6}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\tan (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 π}{4})$

ステップ 2

$\frac{3 π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\tan (\frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.1

$\frac{5 π}{6}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 3.2

$6$ に $2$ をかけます。

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 3.3

$\frac{3 π}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

ステップ 3.4

$4$ に $3$ をかけます。

$\tan (\frac{5 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{12})$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\tan (\frac{5 π \cdot 2 + 3 π \cdot 3}{12})$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ に $5$ をかけます。

$\tan (\frac{10 π + 3 π \cdot 3}{12})$

ステップ 5.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\tan (\frac{10 π + 9 π}{12})$

ステップ 5.3

$10 π$ と $9 π$ をたし算します。

$\tan (\frac{19 π}{12})$

ステップ 6

$\tan (\frac{19 π}{12})$ の厳密値は $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ です。

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ステップ 6.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{19 π}{12}$ を書き直します。

$\tan (\frac{\frac{19 π}{6}}{2})$

ステップ 6.2

正切半角の公式を当てはめます。

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

ステップ 6.3

正切が第四象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

ステップ 6.4

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$ を簡約します。

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ステップ 6.4.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

ステップ 6.4.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

ステップ 6.4.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

ステップ 6.4.4

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

ステップ 6.4.4.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

ステップ 6.4.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

ステップ 6.4.6

公分母の分子をまとめます。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}$

ステップ 6.4.7

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$

ステップ 6.4.8

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}$

ステップ 6.4.9

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

ステップ 6.4.10

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}$

ステップ 6.4.11

公分母の分子をまとめます。

$- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}$

ステップ 6.4.12

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

ステップ 6.4.13

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.13.1

共通因数を約分します。

$- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}$

ステップ 6.4.13.2

式を書き換えます。

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}$

ステップ 6.4.14

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ に $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ をかけます。

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}$

ステップ 6.4.15

$\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ に $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ をかけます。

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}$

ステップ 6.4.16

FOIL法を使って分母を展開します。

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

ステップ 6.4.17

簡約します。

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}$

ステップ 6.4.18

$2 + \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}$

ステップ 6.4.19

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ を展開します。

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ステップ 6.4.19.1

分配則を当てはめます。

$- \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

ステップ 6.4.19.2

分配則を当てはめます。

$- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}$

ステップ 6.4.19.3

分配則を当てはめます。

$- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 6.4.20

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.4.20.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.20.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 6.4.20.1.2

$2$ を $\sqrt{3}$ の左に移動させます。

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 6.4.20.1.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

ステップ 6.4.20.1.4

$3$ に $3$ をかけます。

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

ステップ 6.4.20.1.5

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

ステップ 6.4.20.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

ステップ 6.4.20.2

$4$ と $3$ をたし算します。

$- \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

ステップ 6.4.20.3

$2 \sqrt{3}$ と $2 \sqrt{3}$ をたし算します。

$- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$

10進法形式：

$- 3.73205080 \dots$

有限数学 例

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