有限数学例

${(2 k + 1)}^{3}$

ステップ 1

二項展開定理を利用して各項を求めます。二項定理は ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ を述べたものです。

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(2 k)}^{3 - k} \cdot {(1)}^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(2 k)}^{3 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(2 k)}^{3 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(2 k)}^{3 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(2 k)}^{3 - 3} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 3

展開の各項の指数を簡約します。

$1 \cdot {(2 k)}^{3} \cdot {(1)}^{0} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

指数を足して $1$ に ${(1)}^{0}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

${(1)}^{0}$ を移動させます。

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.1.2

${(1)}^{0}$ に $1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$1$ を $1$ 乗します。

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1^{0 + 1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.1.3

$0$ と $1$ をたし算します。

$1^{1} \cdot {(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.2

$1^{1} \cdot {(2 k)}^{3}$ を簡約します。

${(2 k)}^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.3

積の法則を $2 k$ に当てはめます。

$2^{3} k^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.4

$2$ を $3$ 乗します。

$8 k^{3} + 3 \cdot {(2 k)}^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.5

積の法則を $2 k$ に当てはめます。

$8 k^{3} + 3 \cdot (2^{2} k^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.6

$2$ を $2$ 乗します。

$8 k^{3} + 3 \cdot (4 k^{2}) \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.7

$4$ に $3$ をかけます。

$8 k^{3} + 12 k^{2} \cdot {(1)}^{1} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.8

指数を求めます。

$8 k^{3} + 12 k^{2} \cdot 1 + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.9

$12$ に $1$ をかけます。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 3 \cdot {(2 k)}^{1} \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.10

簡約します。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 3 \cdot (2 k) \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.11

$2$ に $3$ をかけます。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k \cdot {(1)}^{2} + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.12

1のすべての数の累乗は1です。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k \cdot 1 + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.13

$6$ に $1$ をかけます。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1 \cdot {(2 k)}^{0} \cdot {(1)}^{3}$

ステップ 4.14

指数を足して $1$ に ${(1)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.14.1

${(1)}^{3}$ を移動させます。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + {(1)}^{3} \cdot 1 \cdot {(2 k)}^{0}$

ステップ 4.14.2

${(1)}^{3}$ に $1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.14.2.1

$1$ を $1$ 乗します。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + {(1)}^{3} \cdot 1^{1} \cdot {(2 k)}^{0}$

ステップ 4.14.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{3 + 1} \cdot {(2 k)}^{0}$

ステップ 4.14.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}$

ステップ 4.15

$1^{4} \cdot {(2 k)}^{0}$ を簡約します。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1^{4}$

ステップ 4.16

1のすべての数の累乗は1です。

$8 k^{3} + 12 k^{2} + 6 k + 1$

有限数学 例

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