有限数学例

${(1 + i)}^{4}$

ステップ 1

二項展開定理を利用して各項を求めます。二項定理は ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ を述べたものです。

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(1)}^{4 - k} \cdot {(i)}^{k}$

ステップ 2

総和を展開します。

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(1)}^{4 - 0} \cdot {(i)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(1)}^{4 - 1} \cdot {(i)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(1)}^{4 - 2} \cdot {(i)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(1)}^{4 - 3} \cdot {(i)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(1)}^{4 - 4} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 3

展開の各項の指数を簡約します。

$1 \cdot {(1)}^{4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4

多項式の結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

指数を足して $1$ に ${(1)}^{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$1$ に ${(1)}^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1.1

$1$ を $1$ 乗します。

$1^{1} \cdot {(1)}^{4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1^{1 + 4} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.1.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$1^{5} \cdot {(i)}^{0} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.2

$1^{5} \cdot {(i)}^{0}$ を簡約します。

$1^{5} + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 4 \cdot {(1)}^{3} \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 4 \cdot 1 \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.5

$4$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 \cdot {(i)}^{1} + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.6

簡約します。

$1 + 4 \cdot i + 6 \cdot {(1)}^{2} \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.7

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.8

$6$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 i + 6 \cdot {(i)}^{2} + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.9

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.10

$6$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot {(1)}^{1} \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.11

指数を求めます。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.12

$4$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot {(i)}^{3} + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.13

$i^{2}$ を因数分解します。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot (i^{2} \cdot i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.14

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot (- 1 \cdot i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.15

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot (- i) + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.16

$- 1$ に $4$ をかけます。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1 \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.17

指数を足して $1$ に ${(1)}^{0}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.1

$1$ に ${(1)}^{0}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.1.1

$1$ を $1$ 乗します。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1^{1} \cdot {(1)}^{0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.17.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1^{1 + 0} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.17.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1^{1} \cdot {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.18

$1^{1} \cdot {(i)}^{4}$ を簡約します。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i)}^{4}$

ステップ 4.1.19

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.19.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

ステップ 4.1.19.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

ステップ 4.1.19.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

ステップ 4.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$1$ から $6$ を引きます。

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

ステップ 4.2.2

$- 5$ と $1$ をたし算します。

$- 4 + 4 i - 4 i$

ステップ 4.2.3

$4 i$ から $4 i$ を引きます。

$- 4 + 0$

ステップ 4.2.4

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$- 4$

有限数学 例

有限数学例