有限数学例

$\int \sin^{2} (1 - x) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 1 - x$ とします。次に $d u_{1} = - d x$ すると、 $- d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 1 - x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1$

ステップ 1.1.4

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 2

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 3

半角公式を利用して $\sin^{2} (u_{1})$ を $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ に書き換えます。

$- \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$- \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 7

$- 1$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

ステップ 8

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。次に $d u_{2} = 2 d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$2 u_{1}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

ステップ 8.1.2

$2$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $u_{1}$ に対する $2 u_{1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ です。

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 8.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

ステップ 9

$\cos (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

ステップ 11

$\cos (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $\sin (u_{2})$ です。

$- \frac{1}{2} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

ステップ 12

簡約します。

$- \frac{1}{2} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 13

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 13.1

$u_{1}$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

ステップ 13.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 u_{1}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

ステップ 13.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 (1 - x))) + C$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

各項を簡約します。

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ステップ 14.1.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 1 + 2 (- x))) + C$

ステップ 14.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 + 2 (- x))) + C$

ステップ 14.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{1}{2} \sin (2 - 2 x)) + C$

ステップ 14.1.4

$\sin (2 - 2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} (1 - x - \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (- x) - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

ステップ 14.3

簡約します。

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ステップ 14.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (- x) - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

ステップ 14.3.2

$- \frac{1}{2} (- x)$ を掛けます。

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ステップ 14.3.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2}) x - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

ステップ 14.3.2.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

ステップ 14.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2}) + C$

ステップ 14.3.3

$- \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 - 2 x)}{2})$ を掛けます。

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ステップ 14.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{\sin (2 - 2 x)}{2} + C$

ステップ 14.3.3.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 - 2 x)}{2} + C$

ステップ 14.3.3.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sin (2 - 2 x)}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 - 2 x)}{2 \cdot 2} + C$

ステップ 14.3.3.4

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 - 2 x)}{4} + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 - 2 x) + C$

有限数学 例

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