有限数学例

$x - 2 y + z = - 2$ , $- 2 x + 4 y + 6 z = - 5$ , $- 5 x - 3 y + z = - 4$

ステップ 1

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ - 2 & 4 & 6 & - 5 \\ - 5 & - 3 & 1 & - 4 \end{array}]$

ステップ 2

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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ステップ 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 4 + 2 \cdot - 2 & 6 + 2 \cdot 1 & - 5 + 2 \cdot - 2 \\ - 5 & - 3 & 1 & - 4 \end{array}]$

ステップ 2.1.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 8 & - 9 \\ - 5 & - 3 & 1 & - 4 \end{array}]$

ステップ 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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ステップ 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 8 & - 9 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & - 3 + 5 \cdot - 2 & 1 + 5 \cdot 1 & - 4 + 5 \cdot - 2 \end{array}]$

ステップ 2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 8 & - 9 \\ 0 & - 13 & 6 & - 14 \end{array}]$

ステップ 2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & - 13 & 6 & - 14 \\ 0 & 0 & 8 & - 9 \end{array}]$

ステップ 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{13}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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ステップ 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{13}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ - \frac{1}{13} \cdot 0 & - \frac{1}{13} \cdot - 13 & - \frac{1}{13} \cdot 6 & - \frac{1}{13} \cdot - 14 \\ 0 & 0 & 8 & - 9 \end{array}]$

ステップ 2.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 1 & - \frac{6}{13} & \frac{14}{13} \\ 0 & 0 & 8 & - 9 \end{array}]$

ステップ 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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ステップ 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 1 & - \frac{6}{13} & \frac{14}{13} \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{- 9}{8} \end{array}]$

ステップ 2.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 1 & - \frac{6}{13} & \frac{14}{13} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{9}{8} \end{array}]$

ステップ 2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{6}{13} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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ステップ 2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{6}{13} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 + \frac{6}{13} \cdot 0 & 1 + \frac{6}{13} \cdot 0 & - \frac{6}{13} + \frac{6}{13} \cdot 1 & \frac{14}{13} + \frac{6}{13} (- \frac{9}{8}) \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{9}{8} \end{array}]$

ステップ 2.6.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 1 & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{29}{52} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{9}{8} \end{array}]$

ステップ 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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ステップ 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & - 2 - 0 & 1 - 1 & - 2 + \frac{9}{8} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{29}{52} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{9}{8} \end{array}]$

ステップ 2.7.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & - \frac{7}{8} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{29}{52} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{9}{8} \end{array}]$

ステップ 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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ステップ 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 & - \frac{7}{8} + 2 (\frac{29}{52}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{29}{52} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{9}{8} \end{array}]$

ステップ 2.8.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{25}{104} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{29}{52} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{9}{8} \end{array}]$

ステップ 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = \frac{25}{104}$

$y = \frac{29}{52}$

$z = - \frac{9}{8}$

ステップ 4

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(\frac{25}{104}, \frac{29}{52}, - \frac{9}{8})$

有限数学 例

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