有限数学例

$5 x - 3 y + 4 z = 7$ , $5 x + 2 y - 2 z = 11$ , $20 x - 7 y + 10 z = 32$

ステップ 1

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 5 & - 3 & 4 & 7 \\ 5 & 2 & - 2 & 11 \\ 20 & - 7 & 10 & 32 \end{array}]$

ステップ 2

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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ステップ 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{- 3}{5} & \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ 5 & 2 & - 2 & 11 \\ 20 & - 7 & 10 & 32 \end{array}]$

ステップ 2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{5} & \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ 5 & 2 & - 2 & 11 \\ 20 & - 7 & 10 & 32 \end{array}]$

ステップ 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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ステップ 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{5} & \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ 5 - 5 \cdot 1 & 2 - 5 (- \frac{3}{5}) & - 2 - 5 (\frac{4}{5}) & 11 - 5 (\frac{7}{5}) \\ 20 & - 7 & 10 & 32 \end{array}]$

ステップ 2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{5} & \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ 0 & 5 & - 6 & 4 \\ 20 & - 7 & 10 & 32 \end{array}]$

ステップ 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 20 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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ステップ 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 20 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{5} & \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ 0 & 5 & - 6 & 4 \\ 20 - 20 \cdot 1 & - 7 - 20 (- \frac{3}{5}) & 10 - 20 (\frac{4}{5}) & 32 - 20 (\frac{7}{5}) \end{array}]$

ステップ 2.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{5} & \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ 0 & 5 & - 6 & 4 \\ 0 & 5 & - 6 & 4 \end{array}]$

ステップ 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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ステップ 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{5} & \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 6}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 5 & - 6 & 4 \end{array}]$

ステップ 2.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{5} & \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 5 & - 6 & 4 \end{array}]$

ステップ 2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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ステップ 2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{5} & \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 6 - 5 (- \frac{6}{5}) & 4 - 5 (\frac{4}{5}) \end{array}]$

ステップ 2.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{5} & \frac{4}{5} & \frac{7}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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ステップ 2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{3}{5} \cdot 0 & - \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot 1 & \frac{4}{5} + \frac{3}{5} (- \frac{6}{5}) & \frac{7}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 2.6.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2}{25} & \frac{47}{25} \\ 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{2}{25} z = \frac{47}{25}$

$y - \frac{6}{5} z = \frac{4}{5}$

$0 = 0$

ステップ 4

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(\frac{47}{25} - \frac{2 z}{25}, \frac{4}{5} + \frac{6 z}{5}, z)$

有限数学 例

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