有限数学例

$6 x - y + 4 z = 22$ , $8 y + 6 z = 44$ , $3 x + 2 y + 5 z = 27$

ステップ 1

Write the system as a matrix.

$[\begin{array}{c} 6 & - 1 & 4 & 22 \\ 0 & 8 & 6 & 44 \\ 3 & 2 & 5 & 27 \end{array}]$

ステップ 2

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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ステップ 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{- 1}{6} & \frac{4}{6} & \frac{22}{6} \\ 0 & 8 & 6 & 44 \\ 3 & 2 & 5 & 27 \end{array}]$

ステップ 2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{11}{3} \\ 0 & 8 & 6 & 44 \\ 3 & 2 & 5 & 27 \end{array}]$

ステップ 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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ステップ 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{11}{3} \\ 0 & 8 & 6 & 44 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (- \frac{1}{6}) & 5 - 3 (\frac{2}{3}) & 27 - 3 (\frac{11}{3}) \end{array}]$

ステップ 2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{11}{3} \\ 0 & 8 & 6 & 44 \\ 0 & \frac{5}{2} & 3 & 16 \end{array}]$

ステップ 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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ステップ 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{11}{3} \\ \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{6}{8} & \frac{44}{8} \\ 0 & \frac{5}{2} & 3 & 16 \end{array}]$

ステップ 2.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} & \frac{11}{2} \\ 0 & \frac{5}{2} & 3 & 16 \end{array}]$

ステップ 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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ステップ 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{5}{2} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} & \frac{11}{2} \\ 0 - \frac{5}{2} \cdot 0 & \frac{5}{2} - \frac{5}{2} \cdot 1 & 3 - \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{4} & 16 - \frac{5}{2} \cdot \frac{11}{2} \end{array}]$

ステップ 2.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} & \frac{11}{2} \\ 0 & 0 & \frac{9}{8} & \frac{9}{4} \end{array}]$

ステップ 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{8}{9}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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ステップ 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{8}{9}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} & \frac{11}{2} \\ \frac{8}{9} \cdot 0 & \frac{8}{9} \cdot 0 & \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{8} & \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{4} \end{array}]$

ステップ 2.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} & \frac{11}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{3}{4} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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ステップ 2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{3}{4} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{11}{3} \\ 0 - \frac{3}{4} \cdot 0 & 1 - \frac{3}{4} \cdot 0 & \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 & \frac{11}{2} - \frac{3}{4} \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 2.6.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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ステップ 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{6} - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{11}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 2.7.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{6} & 0 & \frac{7}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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ステップ 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{6} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{6} \cdot 0 & \frac{7}{3} + \frac{1}{6} \cdot 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 2.8.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 3$

$y = 4$

$z = 2$

ステップ 4

The solution is the set of ordered pairs that make the system true.

$(3, 4, 2)$

有限数学 例

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