有限数学例

$- 4 - 9 y - z = - 20$ , $- 8 x - 6 y - 2 z = 16$ , $6 x + 9 y + 2 = 22$

ステップ 1

変数を左に、定数項を右に移動させます。

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ステップ 1.1

変数を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$- 9 y - z = - 20 + 4$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y + 2 = 22$

ステップ 1.1.2

$- 20$ と $4$ をたし算します。

$- 9 y - z = - 16$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y + 2 = 22$

$- 9 y - z = - 16$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y + 2 = 22$

ステップ 1.2

変数を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- 9 y - z = - 16$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y = 22 - 2$

ステップ 1.2.2

$22$ から $2$ を引きます。

$- 9 y - z = - 16$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y = 20$

$- 9 y - z = - 16$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y = 20$

$- 9 y - z = - 16$

$- 8 x - 6 y - 2 z = 16$

$6 x + 9 y = 20$

ステップ 2

式を行列で書きます。

$[\begin{array}{c} 0 & - 9 & - 1 & - 16 \\ - 8 & - 6 & - 2 & 16 \\ 6 & 9 & 0 & 20 \end{array}]$

ステップ 3

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 3.1

$R_{2}$ と $R_{1}$ を交換し、ゼロでない項目を $1, 1$ に設定します。

$[\begin{array}{c} - 8 & - 6 & - 2 & 16 \\ 0 & - 9 & - 1 & - 16 \\ 6 & 9 & 0 & 20 \end{array}]$

ステップ 3.2

$R_{1}$ の各要素に $- \frac{1}{8}$ を掛けて $1, 1$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 3.2.1

$R_{1}$ の各要素に $- \frac{1}{8}$ を掛けて $1, 1$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} \cdot - 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 6 & - \frac{1}{8} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot 16 \\ 0 & - 9 & - 1 & - 16 \\ 6 & 9 & 0 & 20 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & - 9 & - 1 & - 16 \\ 6 & 9 & 0 & 20 \end{array}]$

ステップ 3.3

行演算 $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.3.1

行演算 $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & - 9 & - 1 & - 16 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 9 - 6 (\frac{3}{4}) & 0 - 6 (\frac{1}{4}) & 20 - 6 \cdot - 2 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & - 9 & - 1 & - 16 \\ 0 & \frac{9}{2} & - \frac{3}{2} & 32 \end{array}]$

ステップ 3.4

$R_{2}$ の各要素に $- \frac{1}{9}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 3.4.1

$R_{2}$ の各要素に $- \frac{1}{9}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 1 & - \frac{1}{9} \cdot - 16 \\ 0 & \frac{9}{2} & - \frac{3}{2} & 32 \end{array}]$

ステップ 3.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{16}{9} \\ 0 & \frac{9}{2} & - \frac{3}{2} & 32 \end{array}]$

ステップ 3.5

行演算 $R_{3} = R_{3} - \frac{9}{2} R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.5.1

行演算 $R_{3} = R_{3} - \frac{9}{2} R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{16}{9} \\ 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 & \frac{9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1 & - \frac{3}{2} - \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{9} & 32 - \frac{9}{2} \cdot \frac{16}{9} \end{array}]$

ステップ 3.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & - 2 & 24 \end{array}]$

ステップ 3.6

$R_{3}$ の各要素に $- \frac{1}{2}$ を掛けて $3, 3$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 3.6.1

$R_{3}$ の各要素に $- \frac{1}{2}$ を掛けて $3, 3$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{16}{9} \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 24 \end{array}]$

ステップ 3.6.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{9} & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

ステップ 3.7

行演算 $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{9} R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.7.1

行演算 $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{9} R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 - \frac{1}{9} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{9} \cdot 0 & \frac{1}{9} - \frac{1}{9} \cdot 1 & \frac{16}{9} - \frac{1}{9} \cdot - 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

ステップ 3.7.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & - 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{28}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

ステップ 3.8

行演算 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.8.1

行演算 $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{4} R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0 & \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1 & - 2 - \frac{1}{4} \cdot - 12 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{28}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

ステップ 3.8.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{4} & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{28}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

ステップ 3.9

行演算 $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{4} R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.9.1

行演算 $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{4} R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{4} \cdot 0 & \frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{4} \cdot 0 & 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{28}{9} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{28}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

ステップ 3.9.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{28}{9} \\ 0 & 0 & 1 & - 12 \end{array}]$

ステップ 4

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$x = - \frac{4}{3}$

$y = \frac{28}{9}$

$z = - 12$

ステップ 5

解は式を真にする順序対の集合です。

$(- \frac{4}{3}, \frac{28}{9}, - 12)$

有限数学 例

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