有限数学例

$p = q^{2} + 8 q + 16$ , $p = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

ステップ 1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$q^{2} + 8 q + 16 = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

ステップ 2

$q$ について $q^{2} + 8 q + 16 = - 3 q^{2} + 6 q + 436$ を解きます。

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ステップ 2.1

$q$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 2.1.1

方程式の両辺に $3 q^{2}$ を足します。

$q^{2} + 8 q + 16 + 3 q^{2} = 6 q + 436$

ステップ 2.1.2

方程式の両辺から $6 q$ を引きます。

$q^{2} + 8 q + 16 + 3 q^{2} - 6 q = 436$

ステップ 2.1.3

$q^{2}$ と $3 q^{2}$ をたし算します。

$4 q^{2} + 8 q + 16 - 6 q = 436$

ステップ 2.1.4

$8 q$ から $6 q$ を引きます。

$4 q^{2} + 2 q + 16 = 436$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $436$ を引きます。

$4 q^{2} + 2 q + 16 - 436 = 0$

ステップ 2.3

$16$ から $436$ を引きます。

$4 q^{2} + 2 q - 420 = 0$

ステップ 2.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.4.1

$2$ を $4 q^{2} + 2 q - 420$ で因数分解します。

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ステップ 2.4.1.1

$2$ を $4 q^{2}$ で因数分解します。

$2 (2 q^{2}) + 2 q - 420 = 0$

ステップ 2.4.1.2

$2$ を $2 q$ で因数分解します。

$2 (2 q^{2}) + 2 (q) - 420 = 0$

ステップ 2.4.1.3

$2$ を $- 420$ で因数分解します。

$2 (2 q^{2}) + 2 q + 2 \cdot - 210 = 0$

ステップ 2.4.1.4

$2$ を $2 (2 q^{2}) + 2 q$ で因数分解します。

$2 (2 q^{2} + q) + 2 \cdot - 210 = 0$

ステップ 2.4.1.5

$2$ を $2 (2 q^{2} + q) + 2 \cdot - 210$ で因数分解します。

$2 (2 q^{2} + q - 210) = 0$

ステップ 2.4.2

因数分解。

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ステップ 2.4.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.4.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 210 = - 420$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.4.2.1.1.1

$1$ を掛けます。

$2 (2 q^{2} + 1 q - 210) = 0$

ステップ 2.4.2.1.1.2

$1$ を $- 20$ プラス $21$ に書き換える

$2 (2 q^{2} + (- 20 + 21) q - 210) = 0$

ステップ 2.4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 (2 q^{2} - 20 q + 21 q - 210) = 0$

ステップ 2.4.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.4.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 ((2 q^{2} - 20 q) + 21 q - 210) = 0$

ステップ 2.4.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 (2 q (q - 10) + 21 (q - 10)) = 0$

ステップ 2.4.2.1.3

最大公約数 $q - 10$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 ((q - 10) (2 q + 21)) = 0$

ステップ 2.4.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (q - 10) (2 q + 21) = 0$

ステップ 2.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$q - 10 = 0$

$2 q + 21 = 0 + p = - 3 q^{2} + 6 q + 436$

ステップ 2.6

$q - 10$ を $0$ に等しくし、 $q$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$q - 10$ が $0$ に等しいとします。

$q - 10 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$q = 10$

ステップ 2.7

$2 q + 21$ を $0$ に等しくし、 $q$ を解きます。

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ステップ 2.7.1

$2 q + 21$ が $0$ に等しいとします。

$2 q + 21 = 0$

ステップ 2.7.2

$q$ について $2 q + 21 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.7.2.1

方程式の両辺から $21$ を引きます。

$2 q = - 21$

ステップ 2.7.2.2

$2 q = - 21$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.7.2.2.1

$2 q = - 21$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 q}{2} = \frac{- 21}{2}$

ステップ 2.7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.7.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 q}{2} = \frac{- 21}{2}$

ステップ 2.7.2.2.2.1.2

$q$ を $1$ で割ります。

$q = \frac{- 21}{2}$

ステップ 2.7.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.7.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$q = - \frac{21}{2}$

ステップ 2.8

最終解は $2 (q - 10) (2 q + 21) = 0$ を真にするすべての値です。

$q = 10, - \frac{21}{2}$

ステップ 3

$q = 10$ のとき、 $p$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$10$ を $q$ に代入します。

$p = - 3 {(10)}^{2} + 6 (10) + 436$

ステップ 3.2

$p = - 3 {(10)}^{2} + 6 (10) + 436$ の $10$ を $q$ に代入して $p$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

括弧を削除します。

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 6 (10) + 436$

ステップ 3.2.2

$- 3 \cdot 10^{2} + 6 (10) + 436$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$10$ を $1$ 乗します。

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 6 \cdot 10^{1} + 436$

ステップ 3.2.2.2

Move the decimal point in $6$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{1}$ by $1$ .

$p = - 3 \cdot 10^{2} + 0.6 \cdot 10^{2} + 436$

ステップ 3.2.2.3

$10^{2}$ を $- 3 \cdot 10^{2} + 0.6 \cdot 10^{2}$ で因数分解します。

$p = (- 3 + 0.6) \cdot 10^{2} + 436$

ステップ 3.2.2.4

$- 3$ と $0.6$ をたし算します。

$p = - 2.4 \cdot 10^{2} + 436$

ステップ 3.2.2.5

Convert $436$ to scientific notation.

$p = - 2.4 \cdot 10^{2} + 4.36 \cdot 10^{2}$

ステップ 3.2.2.6

$10^{2}$ を $- 2.4 \cdot 10^{2} + 4.36 \cdot 10^{2}$ で因数分解します。

$p = (- 2.4 + 4.36) \cdot 10^{2}$

ステップ 3.2.2.7

$- 2.4$ と $4.36$ をたし算します。

$p = 1.96 \cdot 10^{2}$

ステップ 4

$q = - \frac{21}{2}$ のとき、 $p$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$- \frac{21}{2}$ を $q$ に代入します。

$p = - 3 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

ステップ 4.2

$- 3 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{21}{2}$ に当てはめます。

$p = - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

ステップ 4.2.1.1.2

積の法則を $\frac{21}{2}$ に当てはめます。

$p = - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{21^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$p = - 3 (1 \frac{21^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

ステップ 4.2.1.3

$\frac{21^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$p = - 3 \frac{21^{2}}{2^{2}} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

ステップ 4.2.1.4

$21$ を $2$ 乗します。

$p = - 3 \frac{441}{2^{2}} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

ステップ 4.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$p = - 3 (\frac{441}{4}) + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

ステップ 4.2.1.6

$- 3 (\frac{441}{4})$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.6.1

$- 3$ と $\frac{441}{4}$ をまとめます。

$p = \frac{- 3 \cdot 441}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

ステップ 4.2.1.6.2

$- 3$ に $441$ をかけます。

$p = \frac{- 1323}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

ステップ 4.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$p = - \frac{1323}{4} + 6 (- \frac{21}{2}) + 436$

ステップ 4.2.1.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.8.1

$- \frac{21}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$p = - \frac{1323}{4} + 6 (\frac{- 21}{2}) + 436$

ステップ 4.2.1.8.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$p = - \frac{1323}{4} + 2 (3) \frac{- 21}{2} + 436$

ステップ 4.2.1.8.3

共通因数を約分します。

$p = - \frac{1323}{4} + 2 \cdot 3 \frac{- 21}{2} + 436$

ステップ 4.2.1.8.4

式を書き換えます。

$p = - \frac{1323}{4} + 3 \cdot - 21 + 436$

ステップ 4.2.1.9

$3$ に $- 21$ をかけます。

$p = - \frac{1323}{4} - 63 + 436$

ステップ 4.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.2.2.1

$- 63$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63}{1} + 436$

ステップ 4.2.2.2

$\frac{- 63}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63}{1} \cdot \frac{4}{4} + 436$

ステップ 4.2.2.3

$\frac{- 63}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + 436$

ステップ 4.2.2.4

$436$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436}{1}$

ステップ 4.2.2.5

$\frac{436}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436}{1} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.2.2.6

$\frac{436}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$p = - \frac{1323}{4} + \frac{- 63 \cdot 4}{4} + \frac{436 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.2.3

公分母の分子をまとめます。

$p = \frac{- 1323 - 63 \cdot 4 + 436 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$- 63$ に $4$ をかけます。

$p = \frac{- 1323 - 252 + 436 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.2.4.2

$436$ に $4$ をかけます。

$p = \frac{- 1323 - 252 + 1744}{4}$

ステップ 4.2.5

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$- 1323$ から $252$ を引きます。

$p = \frac{- 1575 + 1744}{4}$

ステップ 4.2.5.2

$- 1575$ と $1744$ をたし算します。

$p = \frac{169}{4}$

ステップ 5

連立方程式の解は連立方程式を真にするすべての値です。

$p = 1.96 \cdot 10^{2}, q = 10 p = \frac{169}{4}, q = - \frac{21}{2}$

ステップ 6

すべての解をまとめます。

$p = 1.96 \cdot 10^{2}, q = 10$

$p = \frac{169}{4}, q = - \frac{21}{2}$

有限数学 例

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