有限数学例

$x + y - z = 11$ , $3 x - y + z = - 3$ , $x - 4 y + 2 z = - 54$

ステップ 1

連立方程式を行列形式で表します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & - 4 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 11 \\ - 3 \\ - 54 \end{array}]$

ステップ 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & - 4 & 2 \end{array}]$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & - 4 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 1 & - 4 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.3

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 (- 1 \cdot 2 - (- 4 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$1 (- 2 - (- 4 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.3.2.1.2

$- (- 4 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$1 (- 2 - - 4) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.3.2.1.2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$1 (- 2 + 4) - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.3.2.2

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$1 \cdot 2 - 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.4

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 2 - 1 (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$1 \cdot 2 - 1 (6 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.4.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 \cdot 2 - 1 (6 - 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.4.2.2

$6$ から $1$ を引きます。

$1 \cdot 2 - 1 \cdot 5 - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 2.5

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 2 - 1 \cdot 5 - 1 (3 \cdot - 4 - 1 \cdot - 1)$

ステップ 2.5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

$3$ に $- 4$ をかけます。

$1 \cdot 2 - 1 \cdot 5 - 1 (- 12 - 1 \cdot - 1)$

ステップ 2.5.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \cdot 2 - 1 \cdot 5 - 1 (- 12 + 1)$

ステップ 2.5.2.2

$- 12$ と $1$ をたし算します。

$1 \cdot 2 - 1 \cdot 5 - 1 \cdot - 11$

ステップ 2.6

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - 1 \cdot 5 - 1 \cdot - 11$

ステップ 2.6.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$2 - 5 - 1 \cdot - 11$

ステップ 2.6.1.3

$- 1$ に $- 11$ をかけます。

$2 - 5 + 11$

ステップ 2.6.2

$2$ から $5$ を引きます。

$- 3 + 11$

ステップ 2.6.3

$- 3$ と $11$ をたし算します。

$8$

$D = 8$

ステップ 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

ステップ 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 11 \\ - 3 \\ - 54 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 11 & 1 & - 1 \\ - 3 & - 1 & 1 \\ - 54 & - 4 & 2 \end{array} |$

ステップ 4.2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 4.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 4.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

ステップ 4.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$11 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} |$

ステップ 4.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} |$

ステップ 4.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} |$

ステップ 4.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

ステップ 4.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

ステップ 4.2.1.9

Add the terms together.

$11 | \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

ステップ 4.2.2

$| \begin{array}{c} - 1 & 1 \\ - 4 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$11 (- 1 \cdot 2 - (- 4 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

ステップ 4.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$11 (- 2 - (- 4 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$- (- 4 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$11 (- 2 - - 4) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

ステップ 4.2.2.2.1.2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$11 (- 2 + 4) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$11 \cdot 2 - 1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

ステップ 4.2.3

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$11 \cdot 2 - 1 (- 3 \cdot 2 - (- 54 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

ステップ 4.2.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$11 \cdot 2 - 1 (- 6 - (- 54 \cdot 1)) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

ステップ 4.2.3.2.1.2

$- (- 54 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1.2.1

$- 54$ に $1$ をかけます。

$11 \cdot 2 - 1 (- 6 - - 54) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

ステップ 4.2.3.2.1.2.2

$- 1$ に $- 54$ をかけます。

$11 \cdot 2 - 1 (- 6 + 54) - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

ステップ 4.2.3.2.2

$- 6$ と $54$ をたし算します。

$11 \cdot 2 - 1 \cdot 48 - 1 | \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$

ステップ 4.2.4

$| \begin{array}{c} - 3 & - 1 \\ - 54 & - 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$11 \cdot 2 - 1 \cdot 48 - 1 (- 3 \cdot - 4 - (- 54 \cdot - 1))$

ステップ 4.2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1.1

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$11 \cdot 2 - 1 \cdot 48 - 1 (12 - (- 54 \cdot - 1))$

ステップ 4.2.4.2.1.2

$- (- 54 \cdot - 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1.2.1

$- 54$ に $- 1$ をかけます。

$11 \cdot 2 - 1 \cdot 48 - 1 (12 - 1 \cdot 54)$

ステップ 4.2.4.2.1.2.2

$- 1$ に $54$ をかけます。

$11 \cdot 2 - 1 \cdot 48 - 1 (12 - 54)$

ステップ 4.2.4.2.2

$12$ から $54$ を引きます。

$11 \cdot 2 - 1 \cdot 48 - 1 \cdot - 42$

ステップ 4.2.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1.1

$11$ に $2$ をかけます。

$22 - 1 \cdot 48 - 1 \cdot - 42$

ステップ 4.2.5.1.2

$- 1$ に $48$ をかけます。

$22 - 48 - 1 \cdot - 42$

ステップ 4.2.5.1.3

$- 1$ に $- 42$ をかけます。

$22 - 48 + 42$

ステップ 4.2.5.2

$22$ から $48$ を引きます。

$- 26 + 42$

ステップ 4.2.5.3

$- 26$ と $42$ をたし算します。

$16$

$D_{x} = 16$

ステップ 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

ステップ 4.4

Substitute $8$ for $D$ and $16$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{16}{8}$

ステップ 4.5

$16$ を $8$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 11 \\ - 3 \\ - 54 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 11 & - 1 \\ 3 & - 3 & 1 \\ 1 & - 54 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} | - 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 5.2.2

$| \begin{array}{c} - 3 & 1 \\ - 54 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 (- 3 \cdot 2 - (- 54 \cdot 1)) - 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$1 (- 6 - (- 54 \cdot 1)) - 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$- (- 54 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.2.1

$- 54$ に $1$ をかけます。

$1 (- 6 - - 54) - 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2.1.2.2

$- 1$ に $- 54$ をかけます。

$1 (- 6 + 54) - 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2.2

$- 6$ と $54$ をたし算します。

$1 \cdot 48 - 11 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 5.2.3

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 48 - 11 (3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 5.2.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$1 \cdot 48 - 11 (6 - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 5.2.3.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 \cdot 48 - 11 (6 - 1) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 5.2.3.2.2

$6$ から $1$ を引きます。

$1 \cdot 48 - 11 \cdot 5 - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 5.2.4

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 48 - 11 \cdot 5 - 1 (3 \cdot - 54 - 1 \cdot - 3)$

ステップ 5.2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1.1

$3$ に $- 54$ をかけます。

$1 \cdot 48 - 11 \cdot 5 - 1 (- 162 - 1 \cdot - 3)$

ステップ 5.2.4.2.1.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$1 \cdot 48 - 11 \cdot 5 - 1 (- 162 + 3)$

ステップ 5.2.4.2.2

$- 162$ と $3$ をたし算します。

$1 \cdot 48 - 11 \cdot 5 - 1 \cdot - 159$

ステップ 5.2.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.1

$48$ に $1$ をかけます。

$48 - 11 \cdot 5 - 1 \cdot - 159$

ステップ 5.2.5.1.2

$- 11$ に $5$ をかけます。

$48 - 55 - 1 \cdot - 159$

ステップ 5.2.5.1.3

$- 1$ に $- 159$ をかけます。

$48 - 55 + 159$

ステップ 5.2.5.2

$48$ から $55$ を引きます。

$- 7 + 159$

ステップ 5.2.5.3

$- 7$ と $159$ をたし算します。

$152$

$D_{y} = 152$

ステップ 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

ステップ 5.4

Substitute $8$ for $D$ and $152$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{152}{8}$

ステップ 5.5

$152$ を $8$ で割ります。

$y = 19$

ステップ 6

Find the value of $z$ by Cramer's Rule, which states that $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

Replace column $3$ of the coefficient matrix that corresponds to the $z$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 11 \\ - 3 \\ - 54 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 11 \\ 3 & - 1 & - 3 \\ 1 & - 4 & - 54 \end{array} |$

ステップ 6.2

Find the determinant.

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ステップ 6.2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 6.2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 6.2.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 4 & - 54 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 4 & - 54 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 4 & - 54 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 6.2.2

$| \begin{array}{c} - 1 & - 3 \\ - 4 & - 54 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 (- - 54 - (- 4 \cdot - 3)) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 6.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

$- 1$ に $- 54$ をかけます。

$1 (54 - (- 4 \cdot - 3)) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$- (- 4 \cdot - 3)$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.2.1.2.1

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$1 (54 - 1 \cdot 12) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 6.2.2.2.1.2.2

$- 1$ に $12$ をかけます。

$1 (54 - 12) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 6.2.2.2.2

$54$ から $12$ を引きます。

$1 \cdot 42 - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} | + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 6.2.3

$| \begin{array}{c} 3 & - 3 \\ 1 & - 54 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 42 - 1 (3 \cdot - 54 - 1 \cdot - 3) + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 6.2.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1.1

$3$ に $- 54$ をかけます。

$1 \cdot 42 - 1 (- 162 - 1 \cdot - 3) + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 6.2.3.2.1.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$1 \cdot 42 - 1 (- 162 + 3) + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 6.2.3.2.2

$- 162$ と $3$ をたし算します。

$1 \cdot 42 - 1 \cdot - 159 + 11 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

ステップ 6.2.4

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 42 - 1 \cdot - 159 + 11 (3 \cdot - 4 - 1 \cdot - 1)$

ステップ 6.2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1.1

$3$ に $- 4$ をかけます。

$1 \cdot 42 - 1 \cdot - 159 + 11 (- 12 - 1 \cdot - 1)$

ステップ 6.2.4.2.1.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \cdot 42 - 1 \cdot - 159 + 11 (- 12 + 1)$

ステップ 6.2.4.2.2

$- 12$ と $1$ をたし算します。

$1 \cdot 42 - 1 \cdot - 159 + 11 \cdot - 11$

ステップ 6.2.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1.1

$42$ に $1$ をかけます。

$42 - 1 \cdot - 159 + 11 \cdot - 11$

ステップ 6.2.5.1.2

$- 1$ に $- 159$ をかけます。

$42 + 159 + 11 \cdot - 11$

ステップ 6.2.5.1.3

$11$ に $- 11$ をかけます。

$42 + 159 - 121$

ステップ 6.2.5.2

$42$ と $159$ をたし算します。

$201 - 121$

ステップ 6.2.5.3

$201$ から $121$ を引きます。

$80$

$D_{z} = 80$

ステップ 6.3

Use the formula to solve for $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

ステップ 6.4

Substitute $8$ for $D$ and $80$ for $D_{z}$ in the formula.

$z = \frac{80}{8}$

ステップ 6.5

$80$ を $8$ で割ります。

$z = 10$

ステップ 7

連立方程式の解を記載します。

$x = 2$

$y = 19$

$z = 10$

有限数学 例

有限数学例