有限数学例

$3 X = [\begin{array}{c} \frac{17}{22} & \frac{31}{110} \\ - \frac{4}{11} & \frac{16}{55} \end{array}]$

ステップ 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

ステップ 2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$\frac{17}{22} \cdot \frac{16}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

$2$ を $22$ で因数分解します。

$\frac{17}{2 (11)} \cdot \frac{16}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

ステップ 2.2.1.1.2

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{17}{2 \cdot 11} \cdot \frac{2 \cdot 8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

ステップ 2.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\frac{17}{2 \cdot 11} \cdot \frac{2 \cdot 8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

ステップ 2.2.1.1.4

式を書き換えます。

$\frac{17}{11} \cdot \frac{8}{55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

ステップ 2.2.1.2

$\frac{17}{11}$ に $\frac{8}{55}$ をかけます。

$\frac{17 \cdot 8}{11 \cdot 55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

ステップ 2.2.1.3

$17$ に $8$ をかけます。

$\frac{136}{11 \cdot 55} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

ステップ 2.2.1.4

$11$ に $55$ をかけます。

$\frac{136}{605} - (- \frac{4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

ステップ 2.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.5.1

$- \frac{4}{11}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{136}{605} - (\frac{- 4}{11} \cdot \frac{31}{110})$

ステップ 2.2.1.5.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{136}{605} - (\frac{2 (- 2)}{11} \cdot \frac{31}{110})$

ステップ 2.2.1.5.3

$2$ を $110$ で因数分解します。

$\frac{136}{605} - (\frac{2 \cdot - 2}{11} \cdot \frac{31}{2 \cdot 55})$

ステップ 2.2.1.5.4

共通因数を約分します。

$\frac{136}{605} - (\frac{2 \cdot - 2}{11} \cdot \frac{31}{2 \cdot 55})$

ステップ 2.2.1.5.5

式を書き換えます。

$\frac{136}{605} - (\frac{- 2}{11} \cdot \frac{31}{55})$

ステップ 2.2.1.6

$\frac{- 2}{11}$ に $\frac{31}{55}$ をかけます。

$\frac{136}{605} - \frac{- 2 \cdot 31}{11 \cdot 55}$

ステップ 2.2.1.7

$- 2$ に $31$ をかけます。

$\frac{136}{605} - \frac{- 62}{11 \cdot 55}$

ステップ 2.2.1.8

$11$ に $55$ をかけます。

$\frac{136}{605} - \frac{- 62}{605}$

ステップ 2.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{136}{605} - - \frac{62}{605}$

ステップ 2.2.1.10

$- - \frac{62}{605}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{136}{605} + 1 (\frac{62}{605})$

ステップ 2.2.1.10.2

$\frac{62}{605}$ に $1$ をかけます。

$\frac{136}{605} + \frac{62}{605}$

ステップ 2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{136 + 62}{605}$

ステップ 2.2.3

$136$ と $62$ をたし算します。

$\frac{198}{605}$

ステップ 2.2.4

$198$ と $605$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

$11$ を $198$ で因数分解します。

$\frac{11 (18)}{605}$

ステップ 2.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.1

$11$ を $605$ で因数分解します。

$\frac{11 \cdot 18}{11 \cdot 55}$

ステップ 2.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{11 \cdot 18}{11 \cdot 55}$

ステップ 2.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{18}{55}$

ステップ 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{18}{55}} [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 5

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 (\frac{55}{18}) [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 6

$\frac{55}{18}$ に $1$ をかけます。

$\frac{55}{18} [\begin{array}{c} \frac{16}{55} & - \frac{31}{110} \\ \frac{4}{11} & \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 7

$\frac{55}{18}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{55}{18} \cdot \frac{16}{55} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 8.1

$55$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{55}{18} \cdot \frac{16}{55} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.1.2

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{18} \cdot 16 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 (9)} \cdot 16 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.2.2

$2$ を $16$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 8) & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.2.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 8) & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.2.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} \cdot 8 & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.3

$\frac{1}{9}$ と $8$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} (- \frac{31}{110}) \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.4

$55$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$- \frac{31}{110}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{110} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.4.2

$55$ を $110$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{55 (2)} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.4.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{- 31}{55 \cdot 2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.4.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{1}{18} \cdot \frac{- 31}{2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.5

$\frac{1}{18}$ に $\frac{- 31}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{- 31}{18 \cdot 2} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.6

$18$ に $2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & \frac{- 31}{36} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.7

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{55}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.8

$11$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.8.1

$11$ を $55$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{11 (5)}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.8.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{4}{11} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.8.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{18} \cdot 4 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.9

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.9.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 (9)} \cdot 4 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.9.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.9.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{2 \cdot 9} \cdot (2 \cdot 2) & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.9.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5}{9} \cdot 2 & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.10

$\frac{5}{9}$ と $2$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{5 \cdot 2}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.11

$5$ に $2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{55}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.12

$11$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.12.1

$11$ を $55$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 (5)}{18} \cdot \frac{17}{22} \end{array}]$

ステップ 8.12.2

$11$ を $22$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{17}{11 \cdot 2} \end{array}]$

ステップ 8.12.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{11 \cdot 5}{18} \cdot \frac{17}{11 \cdot 2} \end{array}]$

ステップ 8.12.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{5}{18} \cdot \frac{17}{2} \end{array}]$

ステップ 8.13

$\frac{5}{18}$ に $\frac{17}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{5 \cdot 17}{18 \cdot 2} \end{array}]$

ステップ 8.14

$5$ に $17$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{85}{18 \cdot 2} \end{array}]$

ステップ 8.15

$18$ に $2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{8}{9} & - \frac{31}{36} \\ \frac{10}{9} & \frac{85}{36} \end{array}]$

有限数学 例

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