有限数学例

${[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 2 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}]}^{- 1}$

ステップ 1

Find the determinant.

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ステップ 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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ステップ 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 1.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 4 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 4 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.1.9

Add the terms together.

$2 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 4 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 4 & 0 \end{array} |$ をかけます。

$2 | \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & 2 \end{array} | + 0$

ステップ 1.3

$| \begin{array}{c} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 (4 \cdot 2 - 1 \cdot 0) - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & 2 \end{array} | + 0$

ステップ 1.3.2

行列式を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

$4$ に $2$ をかけます。

$2 (8 - 1 \cdot 0) - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & 2 \end{array} | + 0$

ステップ 1.3.2.2

$8$ から $0$ を引きます。

$2 \cdot 8 - 2 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & 2 \end{array} | + 0$

ステップ 1.4

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 \cdot 8 - 2 (3 \cdot 2 - 1 \cdot - 2) + 0$

ステップ 1.4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$2 \cdot 8 - 2 (6 - 1 \cdot - 2) + 0$

ステップ 1.4.2.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \cdot 8 - 2 (6 + 2) + 0$

ステップ 1.4.2.2

$6$ と $2$ をたし算します。

$2 \cdot 8 - 2 \cdot 8 + 0$

ステップ 1.5

行列式を簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$2$ に $8$ をかけます。

$16 - 2 \cdot 8 + 0$

ステップ 1.5.1.2

$- 2$ に $8$ をかけます。

$16 - 16 + 0$

ステップ 1.5.2

$16$ から $16$ を引きます。

$0 + 0$

ステップ 1.5.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 2

There is no inverse because the determinant is $0$ .

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