有限数学例

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + 6

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + 6$

ステップ 1

Adding

6

$6$ to a

2 \times 2

$2 \times 2$ square matrix is the same as adding

6

$6$ times the

2 \times 2

$2 \times 2$ identity matrix.

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + 6 [\begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + 6 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 2

6

$6$ に行列の各要素を掛けます。

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 \cdot 1 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

6

$6$ に

1

$1$ をかけます。

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 6 \cdot 0 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 6 \cdot 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2

6

$6$ に

0

$0$ をかけます。

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 0 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 6 \cdot 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.3

6

$6$ に

0

$0$ をかけます。

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 0 0 & 6 \cdot 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.4

6

$6$ に

1

$1$ をかけます。

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 0 0 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}]$

[\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 6 & 0 0 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}]$

ステップ 4

対応する要素を足します。

[\begin{matrix} 5 + 6 & 9 + 0 2 + 0 & 3 + 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 + 6 & 9 + 0 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

ステップ 5

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

5

$5$ と

6

$6$ をたし算します。

[\begin{matrix} 11 & 9 + 0 2 + 0 & 3 + 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 + 0 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

ステップ 5.2

9

$9$ と

0

$0$ をたし算します。

[\begin{matrix} 11 & 9 2 + 0 & 3 + 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 + 0 & 3 + 6 \end{array}]$

ステップ 5.3

2

$2$ と

0

$0$ をたし算します。

[\begin{matrix} 11 & 9 2 & 3 + 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 3 + 6 \end{array}]$

ステップ 5.4

3

$3$ と

6

$6$ をたし算します。

[\begin{matrix} 11 & 9 2 & 9 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 9 \end{array}]$

[\begin{matrix} 11 & 9 2 & 9 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 11 & 9 \\ 2 & 9 \end{array}]$

ステップ 6

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

ステップ 7

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

11 \cdot 9 - 2 \cdot 9

$11 \cdot 9 - 2 \cdot 9$

ステップ 7.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

11

$11$ に

9

$9$ をかけます。

99 - 2 \cdot 9

$99 - 2 \cdot 9$

ステップ 7.2.1.2

- 2

$- 2$ に

9

$9$ をかけます。

99 - 18

$99 - 18$

99 - 18

$99 - 18$

ステップ 7.2.2

99

$99$ から

18

$18$ を引きます。

81

$81$

81

$81$

81

$81$

ステップ 8

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 9

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{81} [\begin{matrix} 9 & - 9 - 2 & 11 \end{matrix}]

$\frac{1}{81} [\begin{array}{c} 9 & - 9 \\ - 2 & 11 \end{array}]$

ステップ 10

\frac{1}{81}

$\frac{1}{81}$ に行列の各要素を掛けます。

[\begin{matrix} \frac{1}{81} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{81} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

ステップ 11

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

9

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

9

$9$ を

81

$81$ で因数分解します。

⎡ ⎣ \begin{matrix} \frac{1}{9 (9)} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9 (9)} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

ステップ 11.1.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot 9 & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

ステップ 11.1.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{81} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

ステップ 11.2

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$9$ を

$81$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 (9)} \cdot - 9 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

ステップ 11.2.2

$9$ を

$- 9$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1) \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

ステップ 11.2.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9 \cdot 9} \cdot (9 \cdot - 1) \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

ステップ 11.2.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \cdot - 1 \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

ステップ 11.3

$\frac{1}{9}$ と

$- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & \frac{- 1}{9} \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

ステップ 11.4

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ \frac{1}{81} \cdot - 2 & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

ステップ 11.5

$\frac{1}{81}$ と

$- 2$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ \frac{- 2}{81} & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

ステップ 11.6

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ - \frac{2}{81} & \frac{1}{81} \cdot 11 \end{array}]$

ステップ 11.7

$\frac{1}{81}$ と

$11$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & - \frac{1}{9} \\ - \frac{2}{81} & \frac{11}{81} \end{array}]$

有限数学 例

有限数学例