有限数学例

$M [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 5 \end{array}]$

ステップ 1

$M$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} M \cdot 3 & M \cdot 1 \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 2.1

$3$ を $M$ の左に移動させます。

$[\begin{array}{c} 3 M & M \cdot 1 \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.2

$M$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M \cdot 1 & M \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.3

$M$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M & M \cdot 5 \end{array}]$

ステップ 2.4

$5$ を $M$ の左に移動させます。

$[\begin{array}{c} 3 M & M \\ M & 5 M \end{array}]$

ステップ 3

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

ステップ 4

Find the determinant.

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ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$3 M (5 M) - M \cdot M$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \cdot 5 M \cdot M - M \cdot M$

ステップ 4.2.1.2

指数を足して $M$ に $M$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.2.1

$M$ を移動させます。

$3 \cdot 5 (M \cdot M) - M \cdot M$

ステップ 4.2.1.2.2

$M$ に $M$ をかけます。

$3 \cdot 5 M^{2} - M \cdot M$

ステップ 4.2.1.3

$3$ に $5$ をかけます。

$15 M^{2} - M \cdot M$

ステップ 4.2.1.4

指数を足して $M$ に $M$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.4.1

$M$ を移動させます。

$15 M^{2} - (M \cdot M)$

ステップ 4.2.1.4.2

$M$ に $M$ をかけます。

$15 M^{2} - M^{2}$

ステップ 4.2.2

$15 M^{2}$ から $M^{2}$ を引きます。

$14 M^{2}$

ステップ 5

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 6

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{14 M^{2}} [\begin{array}{c} 5 M & - M \\ - M & 3 M \end{array}]$

ステップ 7

$\frac{1}{14 M^{2}}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{14 M^{2}} (5 M) & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 8.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$[\begin{array}{c} 5 \frac{1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.2

$5$ と $\frac{1}{14 M^{2}}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.3

$M$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1

$M$ を $14 M^{2}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.3.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.3.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (- M) \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M^{2}} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.5

$M$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.5.1

$- \frac{1}{14 M^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{14 M^{2}} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.5.2

$M$ を $14 M^{2}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{M (14 M)} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.5.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{M (14 M)} M \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.5.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & \frac{- 1}{14 M} \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.6

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{1}{14 M^{2}} (- M) & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.8

$M$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.8.1

$- \frac{1}{14 M^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{14 M^{2}} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.8.2

$M$ を $14 M^{2}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.8.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{M (14 M)} M & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.8.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ \frac{- 1}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.9

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{1}{14 M^{2}} (3 M) \end{array}]$

ステップ 8.10

積の可換性を利用して書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & 3 \frac{1}{14 M^{2}} M \end{array}]$

ステップ 8.11

$3$ と $\frac{1}{14 M^{2}}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{14 M^{2}} M \end{array}]$

ステップ 8.12

$M$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.12.1

$M$ を $14 M^{2}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{M (14 M)} M \end{array}]$

ステップ 8.12.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{M (14 M)} M \end{array}]$

ステップ 8.12.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{5}{14 M} & - \frac{1}{14 M} \\ - \frac{1}{14 M} & \frac{3}{14 M} \end{array}]$

有限数学 例

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