有限数学例

$[\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 14 & 45 & 5 \\ 1 & 43 & 6 \\ 2 & 8 & 9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 + 0 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$45$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 + 0 \\ 1 + 0 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 + 0 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 + 0 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.4

$6$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 \\ 2 + 0 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.5

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 \\ 2 & 8 + 0 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.6

$8$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 14 - λ & 45 & 5 \\ 1 & 43 - λ & 6 \\ 2 & 8 & 9 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(14 - λ) | \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (14 - λ) | \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} | - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2

$| \begin{array}{c} 43 - λ & 6 \\ 8 & 9 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (14 - λ) ((43 - λ) (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(43 - λ) (9 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (14 - λ) (43 (9 - λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (14 - λ) (43 \cdot 9 + 43 (- λ) - λ (9 - λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (14 - λ) (43 \cdot 9 + 43 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.1

$43$ に $9$ をかけます。

$p (λ) = (14 - λ) (387 + 43 (- λ) - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.2

$- 1$ に $43$ をかけます。

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - λ \cdot 9 - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - λ (- λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ + 1 λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 43 λ - 9 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$- 43 λ$ から $9 λ$ を引きます。

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 52 λ + λ^{2} - 8 \cdot 6) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.3

$- 8$ に $6$ をかけます。

$p (λ) = (14 - λ) (387 - 52 λ + λ^{2} - 48) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2

$387$ から $48$ を引きます。

$p (λ) = (14 - λ) (- 52 λ + λ^{2} + 339) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.3

$- 52 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 | \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.3

$| \begin{array}{c} 1 & 6 \\ 2 & 9 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (1 (9 - λ) - 2 \cdot 6) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

$9 - λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (9 - λ - 2 \cdot 6) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.1.2

$- 2$ に $6$ をかけます。

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (9 - λ - 12) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.2

$9$ から $12$ を引きます。

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} 1 & 43 - λ \\ 2 & 8 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (1 \cdot 8 - 2 (43 - λ))$

ステップ 5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$8$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 2 (43 - λ))$

ステップ 5.4.2.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 2 \cdot 43 - 2 (- λ))$

ステップ 5.4.2.1.3

$- 2$ に $43$ をかけます。

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 86 - 2 (- λ))$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (8 - 86 + 2 λ)$

ステップ 5.4.2.2

$8$ から $86$ を引きます。

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (- 78 + 2 λ)$

ステップ 5.4.2.3

$- 78$ と $2 λ$ を並べ替えます。

$p (λ) = (14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339) - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(14 - λ) (λ^{2} - 52 λ + 339)$ を展開します。

$p (λ) = 14 λ^{2} + 14 (- 52 λ) + 14 \cdot 339 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.1

$- 52$ に $14$ をかけます。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 14 \cdot 339 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.2.2

$14$ に $339$ をかけます。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.2.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - (λ^{2} λ) - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.2.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{2 + 1} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.2.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - λ (- 52 λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 1 \cdot - 52 λ \cdot λ - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.2.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 1 \cdot - 52 (λ \cdot λ) - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.2.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 1 \cdot - 52 λ^{2} - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.2.6

$- 1$ に $- 52$ をかけます。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} + 52 λ^{2} - λ \cdot 339 - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.2.7

$339$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 14 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} + 52 λ^{2} - 339 λ - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.3

$14 λ^{2}$ と $52 λ^{2}$ をたし算します。

$p (λ) = 66 λ^{2} - 728 λ + 4746 - λ^{3} - 339 λ - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.4

$- 728 λ$ から $339 λ$ を引きます。

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} - 45 (- λ - 3) + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.5

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} - 45 (- λ) - 45 \cdot - 3 + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.6

$- 1$ に $- 45$ をかけます。

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ - 45 \cdot - 3 + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.7

$- 45$ に $- 3$ をかけます。

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 5 (2 λ - 78)$

ステップ 5.5.1.8

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 5 (2 λ) + 5 \cdot - 78$

ステップ 5.5.1.9

$2$ に $5$ をかけます。

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 10 λ + 5 \cdot - 78$

ステップ 5.5.1.10

$5$ に $- 78$ をかけます。

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1067 λ + 4746 - λ^{3} + 45 λ + 135 + 10 λ - 390$

ステップ 5.5.2

$- 1067 λ$ と $45 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1022 λ + 4746 - λ^{3} + 135 + 10 λ - 390$

ステップ 5.5.3

$- 1022 λ$ と $10 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1012 λ + 4746 - λ^{3} + 135 - 390$

ステップ 5.5.4

$4746$ と $135$ をたし算します。

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1012 λ - λ^{3} + 4881 - 390$

ステップ 5.5.5

$4881$ から $390$ を引きます。

$p (λ) = 66 λ^{2} - 1012 λ - λ^{3} + 4491$

ステップ 5.5.6

$- 1012 λ$ を移動させます。

$p (λ) = 66 λ^{2} - λ^{3} - 1012 λ + 4491$

ステップ 5.5.7

$66 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491 = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

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ステップ 7.1

有理根検定を用いて $- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 4491, \pm 3, \pm 1497, \pm 9, \pm 499$

$q = \pm 1$

ステップ 7.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 4491, \pm 3, \pm 1497, \pm 9, \pm 499$

ステップ 7.1.3

$9$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $9$ は多項式の根です。

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ステップ 7.1.3.1

$9$ を多項式に代入します。

$- 9^{3} + 66 \cdot 9^{2} - 1012 \cdot 9 + 4491$

ステップ 7.1.3.2

$9$ を $3$ 乗します。

$- 1 \cdot 729 + 66 \cdot 9^{2} - 1012 \cdot 9 + 4491$

ステップ 7.1.3.3

$- 1$ に $729$ をかけます。

$- 729 + 66 \cdot 9^{2} - 1012 \cdot 9 + 4491$

ステップ 7.1.3.4

$9$ を $2$ 乗します。

$- 729 + 66 \cdot 81 - 1012 \cdot 9 + 4491$

ステップ 7.1.3.5

$66$ に $81$ をかけます。

$- 729 + 5346 - 1012 \cdot 9 + 4491$

ステップ 7.1.3.6

$- 729$ と $5346$ をたし算します。

$4617 - 1012 \cdot 9 + 4491$

ステップ 7.1.3.7

$- 1012$ に $9$ をかけます。

$4617 - 9108 + 4491$

ステップ 7.1.3.8

$4617$ から $9108$ を引きます。

$- 4491 + 4491$

ステップ 7.1.3.9

$- 4491$ と $4491$ をたし算します。

$0$

ステップ 7.1.4

$9$ は既知の根なので、多項式を $λ - 9$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491}{λ - 9}$

ステップ 7.1.5

$- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$ を $λ - 9$ で割ります。

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ステップ 7.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$λ$

$9$

$λ^{3}$

$66 λ^{2}$

$1012 λ$

$4491$

ステップ 7.1.5.2

被除数 $- λ^{3}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$

ステップ 7.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$

ステップ 7.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- λ^{3} + 9 λ^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$

ステップ 7.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$

ステップ 7.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$

ステップ 7.1.5.7

被除数 $57 λ^{2}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$

ステップ 7.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					+	$57 λ^{2}$	-	$513 λ$

ステップ 7.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $57 λ^{2} - 513 λ$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$

ステップ 7.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$

ステップ 7.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$

ステップ 7.1.5.12

被除数 $- 499 λ$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$

ステップ 7.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$
							-	$499 λ$	+	$4491$

ステップ 7.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 499 λ + 4491$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$
							+	$499 λ$	-	$4491$

ステップ 7.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$	+	$57 λ$	-	$499$
$λ$	-	$9$	-	$λ^{3}$	+	$66 λ^{2}$	-	$1012 λ$	+	$4491$
			+	$λ^{3}$	-	$9 λ^{2}$
					+	$57 λ^{2}$	-	$1012 λ$
					-	$57 λ^{2}$	+	$513 λ$
							-	$499 λ$	+	$4491$
							+	$499 λ$	-	$4491$
										$0$

ステップ 7.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- λ^{2} + 57 λ - 499$

ステップ 7.1.6

$- λ^{3} + 66 λ^{2} - 1012 λ + 4491$ を因数の集合として書き換えます。

$(λ - 9) (- λ^{2} + 57 λ - 499) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ - 9 = 0$

$- λ^{2} + 57 λ - 499 = 0$

ステップ 7.3

$λ - 9$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$λ - 9$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 9 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$λ = 9$

ステップ 7.4

$- λ^{2} + 57 λ - 499$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$- λ^{2} + 57 λ - 499$ が $0$ に等しいとします。

$- λ^{2} + 57 λ - 499 = 0$

ステップ 7.4.2

$λ$ について $- λ^{2} + 57 λ - 499 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.4.2.2

$a = - 1$ 、 $b = 57$ 、および $c = - 499$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $λ$ の値を求めます。

$\frac{- 57 \pm \sqrt{57^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 499)}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3

簡約します。

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ステップ 7.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.2.3.1.1

$57$ を $2$ 乗します。

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{3249 - 4 \cdot - 1 \cdot - 499}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot - 1 \cdot - 499$ を掛けます。

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ステップ 7.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{3249 + 4 \cdot - 499}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.2.2

$4$ に $- 499$ をかけます。

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{3249 - 1996}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.3

$3249$ から $1996$ を引きます。

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{1253}}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.4.2.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$λ = \frac{- 57 \pm \sqrt{1253}}{- 2}$

ステップ 7.4.2.3.3

$\frac{- 57 \pm \sqrt{1253}}{- 2}$ を簡約します。

$λ = \frac{57 \pm \sqrt{1253}}{2}$

ステップ 7.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$λ = \frac{57 + \sqrt{1253}}{2}, \frac{57 - \sqrt{1253}}{2}$

ステップ 7.5

最終解は $(λ - 9) (- λ^{2} + 57 λ - 499) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 9, \frac{57 + \sqrt{1253}}{2}, \frac{57 - \sqrt{1253}}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$λ = 9, \frac{57 + \sqrt{1253}}{2}, \frac{57 - \sqrt{1253}}{2}$

10進法形式：

$λ = 9, 46.19887002 \dots, 10.80112997 \dots$

有限数学 例

有限数学例