有限数学例

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 2

サイズ $2$ の単位行列または恒等行列は $2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

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ステップ 4.3.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

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ステップ 5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2

行列式を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - λ) (- 1 - λ)$ を展開します。

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ステップ 5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.2

$- λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.3

$- λ \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.3.2

$λ$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = - 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = - 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.2

$- λ$ と $λ$ をたし算します。

$p (λ) = - 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.2.3

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = - 1 + λ^{2} - 2$

ステップ 5.2.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$p (λ) = λ^{2} - 3$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{2} - 3 = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$λ^{2} = 3$

ステップ 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{3}$

ステップ 7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$λ = \sqrt{3}$

ステップ 7.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$λ = - \sqrt{3}$

ステップ 7.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$λ = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$λ = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

10進法形式：

$λ = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

有限数学 例

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