有限数学例

$[\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 42 & 22 & 24 \\ 15 & 58 & 91 \\ 12 & 38 & 27 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 + 0 & 24 + 0 \\ 15 + 0 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$22$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 + 0 \\ 15 + 0 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$24$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 + 0 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$15$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 + 0 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.4

$91$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 \\ 12 + 0 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.5

$12$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 \\ 12 & 38 + 0 & 27 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.6

$38$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 42 - λ & 22 & 24 \\ 15 & 58 - λ & 91 \\ 12 & 38 & 27 - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(42 - λ) | \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (42 - λ) | \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} | - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2

$| \begin{array}{c} 58 - λ & 91 \\ 38 & 27 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (42 - λ) ((58 - λ) (27 - λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(58 - λ) (27 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (42 - λ) (58 (27 - λ) - λ (27 - λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (42 - λ) (58 \cdot 27 + 58 (- λ) - λ (27 - λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (42 - λ) (58 \cdot 27 + 58 (- λ) - λ \cdot 27 - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.1

$58$ に $27$ をかけます。

$p (λ) = (42 - λ) (1566 + 58 (- λ) - λ \cdot 27 - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.2

$- 1$ に $58$ をかけます。

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - λ \cdot 27 - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.3

$27$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - λ (- λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ + 1 λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 58 λ - 27 λ + λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$- 58 λ$ から $27 λ$ を引きます。

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 85 λ + λ^{2} - 38 \cdot 91) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.1.3

$- 38$ に $91$ をかけます。

$p (λ) = (42 - λ) (1566 - 85 λ + λ^{2} - 3458) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2

$1566$ から $3458$ を引きます。

$p (λ) = (42 - λ) (- 85 λ + λ^{2} - 1892) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.3

$- 85 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 | \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} | + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.3

$| \begin{array}{c} 15 & 91 \\ 12 & 27 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (15 (27 - λ) - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (15 \cdot 27 + 15 (- λ) - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.1.2

$15$ に $27$ をかけます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (405 + 15 (- λ) - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.1.3

$- 1$ に $15$ をかけます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (405 - 15 λ - 12 \cdot 91) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.1.4

$- 12$ に $91$ をかけます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (405 - 15 λ - 1092) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.3.2.2

$405$ から $1092$ を引きます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 | \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} 15 & 58 - λ \\ 12 & 38 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (15 \cdot 38 - 12 (58 - λ))$

ステップ 5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1.1

$15$ に $38$ をかけます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 12 (58 - λ))$

ステップ 5.4.2.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 12 \cdot 58 - 12 (- λ))$

ステップ 5.4.2.1.3

$- 12$ に $58$ をかけます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 696 - 12 (- λ))$

ステップ 5.4.2.1.4

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (570 - 696 + 12 λ)$

ステップ 5.4.2.2

$570$ から $696$ を引きます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (- 126 + 12 λ)$

ステップ 5.4.2.3

$- 126$ と $12 λ$ を並べ替えます。

$p (λ) = (42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892) - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(42 - λ) (λ^{2} - 85 λ - 1892)$ を展開します。

$p (λ) = 42 λ^{2} + 42 (- 85 λ) + 42 \cdot - 1892 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.1

$- 85$ に $42$ をかけます。

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ + 42 \cdot - 1892 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.2.2

$42$ に $- 1892$ をかけます。

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.2.3

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.3.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - (λ^{2} λ) - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.2.3.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.3.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{2 + 1} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.2.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - λ (- 85 λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - 1 \cdot - 85 λ \cdot λ - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.2.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.2.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - 1 \cdot - 85 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.2.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} - 1 \cdot - 85 λ^{2} - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.2.6

$- 1$ に $- 85$ をかけます。

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} + 85 λ^{2} - λ \cdot - 1892 - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.2.7

$- 1892$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 42 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} + 85 λ^{2} + 1892 λ - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.3

$42 λ^{2}$ と $85 λ^{2}$ をたし算します。

$p (λ) = 127 λ^{2} - 3570 λ - 79464 - λ^{3} + 1892 λ - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.4

$- 3570 λ$ と $1892 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} - 22 (- 15 λ - 687) + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.5

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} - 22 (- 15 λ) - 22 \cdot - 687 + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.6

$- 15$ に $- 22$ をかけます。

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ - 22 \cdot - 687 + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.7

$- 22$ に $- 687$ をかけます。

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 24 (12 λ - 126)$

ステップ 5.5.1.8

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 24 (12 λ) + 24 \cdot - 126$

ステップ 5.5.1.9

$12$ に $24$ をかけます。

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 288 λ + 24 \cdot - 126$

ステップ 5.5.1.10

$24$ に $- 126$ をかけます。

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1678 λ - 79464 - λ^{3} + 330 λ + 15114 + 288 λ - 3024$

ステップ 5.5.2

$- 1678 λ$ と $330 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1348 λ - 79464 - λ^{3} + 15114 + 288 λ - 3024$

ステップ 5.5.3

$- 1348 λ$ と $288 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1060 λ - 79464 - λ^{3} + 15114 - 3024$

ステップ 5.5.4

$- 79464$ と $15114$ をたし算します。

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1060 λ - λ^{3} - 64350 - 3024$

ステップ 5.5.5

$- 64350$ から $3024$ を引きます。

$p (λ) = 127 λ^{2} - 1060 λ - λ^{3} - 67374$

ステップ 5.5.6

$- 1060 λ$ を移動させます。

$p (λ) = 127 λ^{2} - λ^{3} - 1060 λ - 67374$

ステップ 5.5.7

$127 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} + 127 λ^{2} - 1060 λ - 67374$

ステップ 6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} + 127 λ^{2} - 1060 λ - 67374 = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$λ \approx - 18.19789578, 32.99704063$

有限数学 例

有限数学例