有限数学例

$2$ , $6$ , $7$ , $8$ , $11$ , $11$ , $11$ , $12$ , $12$ , $13$ , $13$ , $14$

ステップ 1

平均値を求めます。

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ステップ 1.1

数の集合の平均は和を項の数で割ったものです。

$\overline{x} = \frac{2 + 6 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

ステップ 1.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$2$ と $6$ をたし算します。

$\overline{x} = \frac{8 + 7 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

ステップ 1.2.2

$8$ と $7$ をたし算します。

$\overline{x} = \frac{15 + 8 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

ステップ 1.2.3

$15$ と $8$ をたし算します。

$\overline{x} = \frac{23 + 11 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

ステップ 1.2.4

$23$ と $11$ をたし算します。

$\overline{x} = \frac{34 + 11 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

ステップ 1.2.5

$34$ と $11$ をたし算します。

$\overline{x} = \frac{45 + 11 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

ステップ 1.2.6

$45$ と $11$ をたし算します。

$\overline{x} = \frac{56 + 12 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

ステップ 1.2.7

$56$ と $12$ をたし算します。

$\overline{x} = \frac{68 + 12 + 13 + 13 + 14}{12}$

ステップ 1.2.8

$68$ と $12$ をたし算します。

$\overline{x} = \frac{80 + 13 + 13 + 14}{12}$

ステップ 1.2.9

$80$ と $13$ をたし算します。

$\overline{x} = \frac{93 + 13 + 14}{12}$

ステップ 1.2.10

$93$ と $13$ をたし算します。

$\overline{x} = \frac{106 + 14}{12}$

ステップ 1.2.11

$106$ と $14$ をたし算します。

$\overline{x} = \frac{120}{12}$

ステップ 1.3

$120$ を $12$ で割ります。

$\overline{x} = 10$

ステップ 2

リストの各値を簡約します。

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ステップ 2.1

$2$ を10進値に変換します。

$2$

ステップ 2.2

$6$ を10進値に変換します。

$6$

ステップ 2.3

$7$ を10進値に変換します。

$7$

ステップ 2.4

$8$ を10進値に変換します。

$8$

ステップ 2.5

$11$ を10進値に変換します。

$11$

ステップ 2.6

$12$ を10進値に変換します。

$12$

ステップ 2.7

$13$ を10進値に変換します。

$13$

ステップ 2.8

$14$ を10進値に変換します。

$14$

ステップ 2.9

簡約した値は $2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$ です。

$2, 6, 7, 8, 11, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14$

ステップ 3

標本標準偏差の公式を設定します。値の集合の標準偏差は、その値の広がりを示す指標です。

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

ステップ 4

この数値の集合について、標準偏差の公式を立てます。

$s = \sqrt{\frac{{(2 - 10)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5

結果を簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ から $10$ を引きます。

$s = \sqrt{\frac{{(- 8)}^{2} + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.2

$- 8$ を $2$ 乗します。

$s = \sqrt{\frac{64 + {(6 - 10)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.3

$6$ から $10$ を引きます。

$s = \sqrt{\frac{64 + {(- 4)}^{2} + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.4

$- 4$ を $2$ 乗します。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(7 - 10)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.5

$7$ から $10$ を引きます。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + {(- 3)}^{2} + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.6

$- 3$ を $2$ 乗します。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(8 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.7

$8$ から $10$ を引きます。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + {(- 2)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.8

$- 2$ を $2$ 乗します。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.9

$11$ から $10$ を引きます。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.10

1のすべての数の累乗は1です。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.11

$11$ から $10$ を引きます。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1^{2} + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.12

1のすべての数の累乗は1です。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + {(11 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.13

$11$ から $10$ を引きます。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.14

1のすべての数の累乗は1です。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + {(12 - 10)}^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.15

$12$ から $10$ を引きます。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 2^{2} + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.16

$2$ を $2$ 乗します。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + {(12 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.17

$12$ から $10$ を引きます。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 2^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.18

$2$ を $2$ 乗します。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + {(13 - 10)}^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.19

$13$ から $10$ を引きます。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 3^{2} + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.20

$3$ を $2$ 乗します。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + {(13 - 10)}^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.21

$13$ から $10$ を引きます。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 3^{2} + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.22

$3$ を $2$ 乗します。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + {(14 - 10)}^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.23

$14$ から $10$ を引きます。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 4^{2}}{12 - 1}}$

ステップ 5.24

$4$ を $2$ 乗します。

$s = \sqrt{\frac{64 + 16 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

ステップ 5.25

$64$ と $16$ をたし算します。

$s = \sqrt{\frac{80 + 9 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

ステップ 5.26

$80$ と $9$ をたし算します。

$s = \sqrt{\frac{89 + 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

ステップ 5.27

$89$ と $4$ をたし算します。

$s = \sqrt{\frac{93 + 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

ステップ 5.28

$93$ と $1$ をたし算します。

$s = \sqrt{\frac{94 + 1 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

ステップ 5.29

$94$ と $1$ をたし算します。

$s = \sqrt{\frac{95 + 1 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

ステップ 5.30

$95$ と $1$ をたし算します。

$s = \sqrt{\frac{96 + 4 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

ステップ 5.31

$96$ と $4$ をたし算します。

$s = \sqrt{\frac{100 + 4 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

ステップ 5.32

$100$ と $4$ をたし算します。

$s = \sqrt{\frac{104 + 9 + 9 + 16}{12 - 1}}$

ステップ 5.33

$104$ と $9$ をたし算します。

$s = \sqrt{\frac{113 + 9 + 16}{12 - 1}}$

ステップ 5.34

$113$ と $9$ をたし算します。

$s = \sqrt{\frac{122 + 16}{12 - 1}}$

ステップ 5.35

$122$ と $16$ をたし算します。

$s = \sqrt{\frac{138}{12 - 1}}$

ステップ 5.36

$12$ から $1$ を引きます。

$s = \sqrt{\frac{138}{11}}$

ステップ 5.37

$\sqrt{\frac{138}{11}}$ を $\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ に書き換えます。

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$

ステップ 5.38

$\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ に $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ をかけます。

$s = \frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

ステップ 5.39

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 5.39.1

$\frac{\sqrt{138}}{\sqrt{11}}$ に $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ をかけます。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

ステップ 5.39.2

$\sqrt{11}$ を $1$ 乗します。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

ステップ 5.39.3

$\sqrt{11}$ を $1$ 乗します。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

ステップ 5.39.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.39.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

ステップ 5.39.6

${\sqrt{11}}^{2}$ を $11$ に書き換えます。

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ステップ 5.39.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{11}$ を $11^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.39.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.39.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.39.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.39.6.4.1

共通因数を約分します。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.39.6.4.2

式を書き換えます。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

ステップ 5.39.6.5

指数を求めます。

$s = \frac{\sqrt{138} \sqrt{11}}{11}$

ステップ 5.40

分子を簡約します。

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ステップ 5.40.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$s = \frac{\sqrt{138 \cdot 11}}{11}$

ステップ 5.40.2

$138$ に $11$ をかけます。

$s = \frac{\sqrt{1518}}{11}$

ステップ 6

標準偏差は、元のデータより1小数位多く丸めなければなりません。元データが混在している場合は、最も精度の低いものよりも1小数位多く丸めます。

$3.5$

有限数学 例

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