有限数学例

$\begin{array}{c} x & P (x) \\ 5 & 0.1 \\ 10 & 0.2 \\ 13 & 0.3 \\ 16 & 0.1 \\ 17 & 0.3 \end{array}$

ステップ 1

与えられた表が確率分布に必要な2つの特性を満たすことを証明します。

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ステップ 1.1

離散型確率変数 $x$ は個別の値（ $0$ 、 $1$ 、 $2$ など）の集合をとります。その確率分布は、各可能な値 $x$ に確率 $P (x)$ を割り当てる。各 $x$ について、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間に含まれ、すべての可能な $x$ 値に対する確率の合計は $1$ に等しくなります。

1. 各 $x$ は、 $0 \leq P (x) \leq 1$ です。

2. $P (x_{0}) + P (x_{1}) + P (x_{2}) + \dots + P (x_{n}) = 1$ .

ステップ 1.2

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.3

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.2$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.4

$0.3$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.3$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.5

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.1$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.6

$0.3$ は $0$ と $1$ を含めた間。確率分布の最初の性質を満たします。

$0.3$ は $0$ と $1$ を含めた間

ステップ 1.7

各 $x$ に対して、確率 $P (x)$ は $0$ と $1$ の間になり、確率分布の最初の特性を満たします。

$0 \leq P (x) \leq 1$ すべてのxの値

ステップ 1.8

すべての可能な $x$ 値について確率の和を求めます。

$0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3$

ステップ 1.9

すべての可能な $x$ 値について確率の和は $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$ です。

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ステップ 1.9.1

$0.1$ と $0.2$ をたし算します。

$0.3 + 0.3 + 0.1 + 0.3$

ステップ 1.9.2

$0.3$ と $0.3$ をたし算します。

$0.6 + 0.1 + 0.3$

ステップ 1.9.3

$0.6$ と $0.1$ をたし算します。

$0.7 + 0.3$

ステップ 1.9.4

$0.7$ と $0.3$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.10

各 $x$ に対して、 $P (x)$ の確率は $0$ と $1$ の間になります。さらに、すべての可能な $x$ に対する確率の和は $1$ に等しいので、この表は確率分布の2つの特性を満たします。

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$

表は確率分布の2つの特性を満たしています。

特性1：すべての $x$ 値について $0 \leq P (x) \leq 1$

特性2： $0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.3 = 1$

ステップ 2

分布の期待平均は、分布の試行が無限に続く場合に期待される値です。これは、各値にその離散確率を掛けたものに等しいです。

$u = 5 \cdot 0.1 + 10 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

$5$ に $0.1$ をかけます。

$u = 0.5 + 10 \cdot 0.2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

ステップ 3.2

$10$ に $0.2$ をかけます。

$u = 0.5 + 2 + 13 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

ステップ 3.3

$13$ に $0.3$ をかけます。

$u = 0.5 + 2 + 3.9 + 16 \cdot 0.1 + 17 \cdot 0.3$

ステップ 3.4

$16$ に $0.1$ をかけます。

$u = 0.5 + 2 + 3.9 + 1.6 + 17 \cdot 0.3$

ステップ 3.5

$17$ に $0.3$ をかけます。

$u = 0.5 + 2 + 3.9 + 1.6 + 5.1$

ステップ 4

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1

$0.5$ と $2$ をたし算します。

$u = 2.5 + 3.9 + 1.6 + 5.1$

ステップ 4.2

$2.5$ と $3.9$ をたし算します。

$u = 6.4 + 1.6 + 5.1$

ステップ 4.3

$6.4$ と $1.6$ をたし算します。

$u = 8 + 5.1$

ステップ 4.4

$8$ と $5.1$ をたし算します。

$u = 13.1$

ステップ 5

分布の分散は、分散を測定するもので、標準偏差の2乗に等しいです。

$s^{2} = \sum_{}^{} {(x - u)}^{2} \cdot (P (x))$

ステップ 6

既知数を記入します。

${(5 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$- 1$ に $13.1$ をかけます。

${(5 - 13.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.2

$5$ から $13.1$ を引きます。

${(- 8.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.3

$- 8.1$ を $2$ 乗します。

$65.61 \cdot 0.1 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.4

$65.61$ に $0.1$ をかけます。

$6.561 + {(10 - (13.1))}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.5

$- 1$ に $13.1$ をかけます。

$6.561 + {(10 - 13.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.6

$10$ から $13.1$ を引きます。

$6.561 + {(- 3.1)}^{2} \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.7

$- 3.1$ を $2$ 乗します。

$6.561 + 9.61 \cdot 0.2 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.8

$9.61$ に $0.2$ をかけます。

$6.561 + 1.922 + {(13 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.9

$- 1$ に $13.1$ をかけます。

$6.561 + 1.922 + {(13 - 13.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.10

$13$ から $13.1$ を引きます。

$6.561 + 1.922 + {(- 0.1)}^{2} \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.11

$- 0.1$ を $2$ 乗します。

$6.561 + 1.922 + 0.01 \cdot 0.3 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.12

$0.01$ に $0.3$ をかけます。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + {(16 - (13.1))}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.13

$- 1$ に $13.1$ をかけます。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + {(16 - 13.1)}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.14

$16$ から $13.1$ を引きます。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + {2.9}^{2} \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.15

$2.9$ を $2$ 乗します。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 8.41 \cdot 0.1 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.16

$8.41$ に $0.1$ をかけます。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + {(17 - (13.1))}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.17

$- 1$ に $13.1$ をかけます。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + {(17 - 13.1)}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.18

$17$ から $13.1$ を引きます。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + {3.9}^{2} \cdot 0.3$

ステップ 7.1.19

$3.9$ を $2$ 乗します。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + 15.21 \cdot 0.3$

ステップ 7.1.20

$15.21$ に $0.3$ をかけます。

$6.561 + 1.922 + 0.003 + 0.841 + 4.563$

ステップ 7.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$6.561$ と $1.922$ をたし算します。

$8.483 + 0.003 + 0.841 + 4.563$

ステップ 7.2.2

$8.483$ と $0.003$ をたし算します。

$8.486 + 0.841 + 4.563$

ステップ 7.2.3

$8.486$ と $0.841$ をたし算します。

$9.327 + 4.563$

ステップ 7.2.4

$9.327$ と $4.563$ をたし算します。

$13.89$

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