有限数学例

$r = 4 \sin (θ)$ , $r = 4 \cos (θ)$

ステップ 1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$

ステップ 2

$θ$ について $4 \sin (θ) = 4 \cos (θ)$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の各項を $\cos (θ)$ で割ります。

$\frac{4 \sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 2.2

分数を分解します。

$\frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 2.3

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ を $\tan (θ)$ に変換します。

$\frac{4}{1} \cdot \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 2.5

$\cos (θ)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.1

共通因数を約分します。

$4 \tan (θ) = \frac{4 \cos (θ)}{\cos (θ)}$

ステップ 2.5.2

$4$ を $1$ で割ります。

$4 \tan (θ) = 4$

ステップ 2.6

$4 \tan (θ) = 4$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.6.1

$4 \tan (θ) = 4$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

ステップ 2.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.6.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \tan (θ)}{4} = \frac{4}{4}$

ステップ 2.6.2.1.2

$\tan (θ)$ を $1$ で割ります。

$\tan (θ) = \frac{4}{4}$

ステップ 2.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.6.3.1

$4$ を $4$ で割ります。

$\tan (θ) = 1$

ステップ 2.7

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arctan (1)$

ステップ 2.8

右辺を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$θ = \frac{π}{4}$

ステップ 2.9

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$θ = π + \frac{π}{4}$

ステップ 2.10

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 2.10.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.10.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 2.10.2.2

公分母の分子をまとめます。

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 2.10.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.10.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 2.10.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$θ = \frac{5 π}{4}$

ステップ 2.11

$\tan (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.11.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.11.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.11.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.11.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.12

$\tan (θ)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$θ = \frac{π}{4} + π n$ のとき、 $r$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{π}{4} + π n$ を $θ$ に代入します。

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

ステップ 3.2

括弧を削除します。

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n)$

ステップ 4

$θ = \frac{5 π}{4} + π n$ のとき、 $r$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{5 π}{4} + π n$ を $θ$ に代入します。

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

ステップ 4.2

括弧を削除します。

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n)$

ステップ 5

連立方程式の解は連立方程式を真にするすべての値です。

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$

ステップ 6

すべての解をまとめます。

$r = 4 \cos (\frac{π}{4} + π n), θ = \frac{π}{4} + π n$

$r = 4 \cos (\frac{5 π}{4} + π n), θ = \frac{5 π}{4} + π n$

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