有限数学例

[\begin{matrix} - 3 & - 5 2 & 0 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 1

公式を設定し特性方程式

p (λ)

$p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 2

サイズ

$2$ の単位行列または恒等行列は

$2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 3

既知の値を

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}]$ を

$A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を

$I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$0$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.3.2

$0$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 3 & - 5 \\ 2 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 + 0 \\ 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 5$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$2$ と

$0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 & 0 - λ \end{array}]$

ステップ 4.3.3

$0$ から

$λ$ を引きます。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 3 - λ & - 5 \\ 2 & - λ \end{array}]$

ステップ 5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (- 3 - λ) (- λ) - 2 \cdot - 5$

ステップ 5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = - 3 (- λ) - λ (- λ) - 2 \cdot - 5$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に

$- 3$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 5$

ステップ 5.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 5$

ステップ 5.2.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.1

指数を足して

$λ$ に

$λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.1.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 5$

ステップ 5.2.1.4.1.2

$λ$ に

$λ$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 5$

ステップ 5.2.1.4.2

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 5$

ステップ 5.2.1.4.3

$λ^{2}$ に

$1$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 5$

ステップ 5.2.1.5

$- 2$ に

$- 5$ をかけます。

$p (λ) = 3 λ + λ^{2} + 10$

ステップ 5.2.2

$3 λ$ と

$λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{2} + 3 λ + 10$

ステップ 6

特性多項式を

$0$ と等しくし、固有値

$λ$ を求めます。

$λ^{2} + 3 λ + 10 = 0$

ステップ 7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2

$a = 1$ 、

$b = 3$ 、および

$c = 10$ を二次方程式の解の公式に代入し、

$λ$ の値を求めます。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.1

$3$ を

$2$ 乗します。

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 10$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1.2.1

$- 4$ に

$1$ をかけます。

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.2.2

$- 4$ に

$10$ をかけます。

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 40}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.3

$9$ から

$40$ を引きます。

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 31}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.4

$- 31$ を

$- 1 (31)$ に書き換えます。

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 31}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.5

$\sqrt{- 1 (31)}$ を

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}$ に書き換えます。

$λ = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を

$i$ に書き換えます。

$λ = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.2

$2$ に

$1$ をかけます。

$λ = \frac{- 3 \pm i \sqrt{31}}{2}$

ステップ 7.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$λ = - \frac{3 - i \sqrt{31}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{31}}{2}$

有限数学 例

有限数学例