有限数学例

$y = \frac{5}{x^{2} - 4 x + 7}$

ステップ 1

方程式を $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ として書き換えます。

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

ステップ 2.2

括弧を削除します。

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

ステップ 2.3

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2} - 4 x + 7$

ステップ 3

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ の各項に $x^{2} - 4 x + 7$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ の各項に $x^{2} - 4 x + 7$ を掛けます。

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$x^{2} - 4 x + 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

ステップ 3.2.1.2

式を書き換えます。

$5 = y (x^{2} - 4 x + 7)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$5 = y x^{2} + y (- 4 x) + y \cdot 7$

ステップ 3.3.2

簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$5 = y x^{2} - 4 y x + y \cdot 7$

ステップ 3.3.2.2

$7$ を $y$ の左に移動させます。

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 \cdot y$

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 y$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$ として書き換えます。

$y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$y x^{2} - 4 y x + 7 y - 5 = 0$

ステップ 4.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4

$a = y$ 、 $b = - 4 y$ 、および $c = 7 y - 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

ステップ 4.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.5.1.1

括弧を付けます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.2

$u = y \cdot (7 y - 5)$ とします。 $u$ を $y \cdot (7 y - 5)$ に代入します。

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ステップ 4.5.1.2.1

積の法則を $- 4 y$ に当てはめます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.2.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{16 y^{2} - 4 u}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.3

$4$ を $16 y^{2} - 4 u$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1.3.1

$4$ を $16 y^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) - 4 u}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.3.2

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.3.3

$4$ を $4 (4 y^{2}) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - u)}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.4

$u$ のすべての発生を $y \cdot (7 y - 5)$ で置き換えます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y \cdot (7 y - 5)))}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.5

簡約します。

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ステップ 4.5.1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.1.5.1.1

分配則を当てはめます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y (7 y) + y \cdot - 5))}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.5.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y + y \cdot - 5))}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.5.1.3

$- 5$ を $y$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y - 5 \cdot y))}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.5.1.4

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1.5.1.4.1

$y$ を移動させます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 (y \cdot y) - 5 \cdot y))}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.5.1.4.2

$y$ に $y$ をかけます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 \cdot y))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 y))}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.5.1.5

分配則を当てはめます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2}) - (- 5 y))}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.5.1.6

$7$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} - (- 5 y))}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.5.1.7

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.5.2

$4 y^{2}$ から $7 y^{2}$ を引きます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (- 3 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.6

$y$ を $- 3 y^{2} + 5 y$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1.6.1

$y$ を $- 3 y^{2}$ で因数分解します。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + 5 y)}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.6.2

$y$ を $5 y$ で因数分解します。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + y \cdot 5)}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.6.3

$y$ を $y (- 3 y) + y \cdot 5$ で因数分解します。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.7

$4 y (- 3 y + 5)$ を $2^{2} (y (- 3 y + 5))$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.7.2

括弧を付けます。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

ステップ 4.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

ステップ 4.5.2

$\frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$ を簡約します。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

ステップ 4.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

有限数学 例

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