有限数学例

$\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$\ln (x + 1) - \ln (x - 1) = - 1$

ステップ 2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = - 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

ステップ 4

分数を削除するためにたすき掛けします。

$x + 1 = e^{- 1} (x - 1)$

ステップ 5

$e^{- 1} (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x + 1 = \frac{1}{e} (x - 1)$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$x + 1 = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

ステップ 5.3

$\frac{1}{e}$ と $x$ をまとめます。

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

ステップ 5.4

$\frac{1}{e}$ と $- 1$ をまとめます。

$x + 1 = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

ステップ 5.5

分数の前に負数を移動させます。

$x + 1 = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

ステップ 6

方程式の両辺から $\frac{x}{e}$ を引きます。

$x + 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e}$

ステップ 7

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

ステップ 8

$x$ を $x - \frac{x}{e}$ で因数分解します。

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ステップ 8.1

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x \cdot 1 - \frac{x}{e} = - \frac{1}{e} - 1$

ステップ 8.2

$x$ を $- \frac{x}{e}$ で因数分解します。

$x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

ステップ 8.3

$x$ を $x \cdot 1 + x (- \frac{1}{e})$ で因数分解します。

$x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$

ステップ 9

$x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ の各項を $1 - \frac{1}{e}$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.1

$x (1 - \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} - 1$ の各項を $1 - \frac{1}{e}$ で割ります。

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

ステップ 9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$1 - \frac{1}{e}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (1 - \frac{1}{e})}{1 - \frac{1}{e}} = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

ステップ 9.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{1}{e}}{1 - \frac{1}{e}} + \frac{- 1}{1 - \frac{1}{e}}$

ステップ 9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.1

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

ステップ 9.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $e$ .

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ステップ 9.3.2.1

$\frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$ に $\frac{e}{e}$ をかけます。

$x = \frac{e}{e} \cdot \frac{- \frac{1}{e} - 1}{1 - \frac{1}{e}}$

ステップ 9.3.2.2

まとめる。

$x = \frac{e (- \frac{1}{e} - 1)}{e (1 - \frac{1}{e})}$

ステップ 9.3.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{e (- \frac{1}{e}) + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

ステップ 9.3.4

約分で簡約します。

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ステップ 9.3.4.1

$e$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.4.1.1

$- \frac{1}{e}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

ステップ 9.3.4.1.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{e \frac{- 1}{e} + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

ステップ 9.3.4.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e (- \frac{1}{e})}$

ステップ 9.3.4.2

$e$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.4.2.1

$- \frac{1}{e}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

ステップ 9.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 + e \frac{- 1}{e}}$

ステップ 9.3.4.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{- 1 + e \cdot - 1}{e \cdot 1 - 1}$

ステップ 9.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 9.3.5.1

$- 1$ を $e$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 1 - 1 \cdot e}{e \cdot 1 - 1}$

ステップ 9.3.5.2

$- 1 e$ を $- e$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 - e}{e \cdot 1 - 1}$

ステップ 9.3.6

くくりだして簡約します。

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ステップ 9.3.6.1

$e$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 - e}{e - 1}$

ステップ 9.3.6.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 (1) - e}{e - 1}$

ステップ 9.3.6.3

$- 1$ を $- e$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1) - (e)}{e - 1}$

ステップ 9.3.6.4

$- 1$ を $- 1 (1) - (e)$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + e)}{e - 1}$

ステップ 9.3.6.5

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + e}{e - 1}$

ステップ 10

$\ln (x + 1) = - 1 + \ln (x - 1)$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

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