有限数学例

$\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3} > 0$

ステップ 1

絶対値から非負の項を削除します。

$\frac{x^{2} + 3 | x |}{x + 3} > 0$

ステップ 2

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} + 3 | x | = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 3

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$3 | x | = - x^{2}$

ステップ 4

$3 | x | = - x^{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$3 | x | = - x^{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

ステップ 4.2.1.2

$| x |$ を $1$ で割ります。

$| x | = \frac{- x^{2}}{3}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$| x | = - \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 5

絶対値の項を削除します。これにより、 $| x | = \pm x$ なので方程式の右辺に $\pm$ ができます。

$x = \pm (- \frac{x^{2}}{3})$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = - \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 6.2

両辺に $3$ を掛けます。

$x \cdot 3 = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$3 x = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

ステップ 6.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

$- \frac{x^{2}}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

ステップ 6.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

ステップ 6.3.2.1.3

式を書き換えます。

$3 x = - x^{2}$

ステップ 6.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

方程式の両辺に $x^{2}$ を足します。

$3 x + x^{2} = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$3 u + u^{2} = 0$

ステップ 6.4.2.2

$u$ を $3 u + u^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

$u$ を $3 u$ で因数分解します。

$u \cdot 3 + u^{2} = 0$

ステップ 6.4.2.2.2

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot 3 + u \cdot u = 0$

ステップ 6.4.2.2.3

$u$ を $u \cdot 3 + u \cdot u$ で因数分解します。

$u (3 + u) = 0$

ステップ 6.4.2.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$x (3 + x) = 0$

ステップ 6.4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$3 + x = 0$

ステップ 6.4.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.4.5

$3 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.5.1

$3 + x$ が $0$ に等しいとします。

$3 + x = 0$

ステップ 6.4.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6.4.6

最終解は $x (3 + x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3$

ステップ 6.5

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = \frac{x^{2}}{3}$

ステップ 6.6

両辺に $3$ を掛けます。

$x \cdot 3 = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

ステップ 6.7

簡約します。

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ステップ 6.7.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1.1

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

ステップ 6.7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.7.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

ステップ 6.7.2.1.2

式を書き換えます。

$3 x = x^{2}$

ステップ 6.8

$x$ について解きます。

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ステップ 6.8.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$3 x - x^{2} = 0$

ステップ 6.8.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.8.2.1

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$3 u - u^{2} = 0$

ステップ 6.8.2.2

$u$ を $3 u - u^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.2.1

$u$ を $3 u$ で因数分解します。

$u \cdot 3 - u^{2} = 0$

ステップ 6.8.2.2.2

$u$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot 3 + u (- u) = 0$

ステップ 6.8.2.2.3

$u$ を $u \cdot 3 + u (- u)$ で因数分解します。

$u (3 - u) = 0$

ステップ 6.8.2.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$x (3 - x) = 0$

ステップ 6.8.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$3 - x = 0$

ステップ 6.8.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.8.5

$3 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.8.5.1

$3 - x$ が $0$ に等しいとします。

$3 - x = 0$

ステップ 6.8.5.2

$x$ について $3 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 6.8.5.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- x = - 3$

ステップ 6.8.5.2.2

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.5.2.2.1

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.8.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.8.5.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.8.5.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 6.8.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.8.5.2.2.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$x = 3$

ステップ 6.8.6

最終解は $x (3 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3$

ステップ 6.9

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 0, - 3, 3$

ステップ 7

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0, - 3, 3$

$x = - 3$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = 0, - 3, 3, - 3$

ステップ 10

$\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 3 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{{(- 6)}^{2} + | 3 (- 6) |}{(- 6) + 3} > 0$

ステップ 12.1.3

左辺 $- 18$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.2

区間 $- 3 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

区間 $- 3 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{{(- 2)}^{2} + | 3 (- 2) |}{(- 2) + 3} > 0$

ステップ 12.2.3

左辺 $10$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.3

区間 $0 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

区間 $0 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{{(2)}^{2} + | 3 (2) |}{(2) + 3} > 0$

ステップ 12.3.3

左辺 $2$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.4

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.4.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{{(6)}^{2} + | 3 (6) |}{(6) + 3} > 0$

ステップ 12.4.3

左辺 $6$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 0$ 真

$0 < x < 3$ 真

$x > 3$ 真

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 0$ 真

$0 < x < 3$ 真

$x > 3$ 真

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 < x < 0$ または $0 < x < 3$ または $x > 3$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$(- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 15

有限数学 例

有限数学例