有限数学例

$f (x) = 6 \ln ({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$6 \ln (\sqrt[3]{{(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1}})$

ステップ 1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$6 \ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$

ステップ 2

$\ln (\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}} > 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}}^{3} > 0^{3}$

ステップ 3.2

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ を ${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > 0^{3}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

${({(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

ステップ 3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2})}^{1} > 0^{3}$

ステップ 3.2.2.1.2

簡約します。

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0^{3}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2} > 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} + 2 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{2} = - 2$

ステップ 3.3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 2}$

ステップ 3.3.4

$\pm \sqrt{- 2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

ステップ 3.3.4.2

$\sqrt{- 1 (2)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

ステップ 3.3.4.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{2}$

ステップ 3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{2}$

ステップ 3.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{2}$

ステップ 3.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

ステップ 3.3.6

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 3.3.7

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 3.3.8

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.8.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 3.3.8.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 3.3.8.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 3.3.9

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 3.3.10

解をまとめます。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.4.1

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 3.4.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 3.4.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 3.4.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 3.4.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 3.4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- \sqrt{2}, \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

ステップ 3.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$

$x > \sqrt{2}$

ステップ 3.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 3.6.1

区間 $x < - \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.6.1.1

区間 $x < - \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 3.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\sqrt[3]{\frac{{(- 4)}^{2} + 2}{{(- 4)}^{2} - 2}} > 0$

ステップ 3.6.1.3

左辺 $1.08738037$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.6.2

区間 $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.6.2.1

区間 $- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 3.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\sqrt[3]{\frac{{(0)}^{2} + 2}{{(0)}^{2} - 2}} > 0$

ステップ 3.6.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 3.6.3

区間 $x > \sqrt{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.6.3.1

区間 $x > \sqrt{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 3.6.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\sqrt[3]{\frac{{(4)}^{2} + 2}{{(4)}^{2} - 2}} > 0$

ステップ 3.6.3.3

左辺 $1.08738037$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 3.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \sqrt{2}$ 真

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 偽

$x > \sqrt{2}$ 真

$x < - \sqrt{2}$ 真

$- \sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ 偽

$x > \sqrt{2}$ 真

ステップ 3.7

解はすべての真の区間からなります。

$x < - \sqrt{2}$ または $x > \sqrt{2}$

ステップ 4

$\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 5.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 5.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 5.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 6

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x < - \sqrt{2}, x > \sqrt{2}}$

ステップ 7

有限数学 例

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