有限数学例

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) = \log_{3} (3 x - 1)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\log_{3} (3 x - 1)$ を引きます。

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

ステップ 2

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 2.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{3} ((5 - x) (x + 1)) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

ステップ 2.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{0} = \frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}$

ステップ 4

分数を削除するためにたすき掛けします。

$(5 - x) (x + 1) = 3^{0} (3 x - 1)$

ステップ 5

$3^{0} (3 x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$(5 - x) (x + 1) = 1 (3 x - 1)$

ステップ 5.2

$3 x - 1$ に $1$ をかけます。

$(5 - x) (x + 1) = 3 x - 1$

ステップ 6

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $3 x$ を引きます。

$(5 - x) (x + 1) - 3 x = - 1$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(5 - x) (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 6.2.1.1

分配則を当てはめます。

$5 (x + 1) - x (x + 1) - 3 x = - 1$

ステップ 6.2.1.2

分配則を当てはめます。

$5 x + 5 \cdot 1 - x (x + 1) - 3 x = - 1$

ステップ 6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$5 x + 5 \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

ステップ 6.2.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

$5$ に $1$ をかけます。

$5 x + 5 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

ステップ 6.2.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$5 x + 5 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

ステップ 6.2.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$5 x + 5 - x^{2} - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

ステップ 6.2.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$5 x + 5 - x^{2} - x - 3 x = - 1$

ステップ 6.2.2.2

$5 x$ から $x$ を引きます。

$4 x + 5 - x^{2} - 3 x = - 1$

ステップ 6.3

$4 x$ から $3 x$ を引きます。

$x + 5 - x^{2} = - 1$

ステップ 7

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x - x^{2} = - 1 - 5$

ステップ 7.2

$- 1$ から $5$ を引きます。

$x - x^{2} = - 6$

ステップ 8

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x - x^{2} + 6 = 0$

ステップ 9

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 9.1

$- 1$ を $x - x^{2} + 6$ で因数分解します。

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ステップ 9.1.1

$x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + x + 6 = 0$

ステップ 9.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

ステップ 9.1.3

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

ステップ 9.1.4

$6$ を $- 1 (- 6)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

ステップ 9.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

ステップ 9.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

ステップ 9.2

因数分解。

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ステップ 9.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 9.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $- 1$ です。

$- 3, 2$

ステップ 9.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

ステップ 9.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 11

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 12

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 13

最終解は $- (x - 3) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 2$

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