有限数学例

$y = 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$

ステップ 1

$3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x - 9 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$- 8 x^{3} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 8 x$ を $- 8 x^{3} + 24 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 8 x$ を $- 8 x^{3}$ で因数分解します。

$- 8 x \cdot x^{2} + 24 x + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 8 x$ を $24 x$ で因数分解します。

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot - 3 + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 8 x$ を $- 8 x (x^{2}) - 8 x (- 3)$ で因数分解します。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} - 6 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 2.1.3

$3$ を $3 x^{4} - 6 x^{2} - 9$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.3.1

$3$ を $3 x^{4}$ で因数分解します。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) - 6 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 2.1.3.2

$3$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4}) + 3 (- 2 x^{2}) - 9 = 0$

ステップ 2.1.3.3

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.1.3.4

$3$ を $3 x^{4} + 3 (- 2 x^{2})$ で因数分解します。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.1.3.5

$3$ を $3 (x^{4} - 2 x^{2}) + 3 \cdot - 3$ で因数分解します。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{4} - 2 x^{2} - 3) = 0$

ステップ 2.1.4

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3) = 0$

ステップ 2.1.5

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

ステップ 2.1.6

たすき掛けを利用して $u^{2} - 2 u - 3$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.6.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 2.1.6.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((u - 3) (u + 1)) = 0$

ステップ 2.1.7

因数分解。

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ステップ 2.1.7.1

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 ((x^{2} - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 2.1.7.2

不要な括弧を削除します。

$- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

ステップ 2.1.8

$x^{2} - 3$ を $- 8 x (x^{2} - 3) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.8.1

$x^{2} - 3$ を $- 8 x (x^{2} - 3)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + 3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1) = 0$

ステップ 2.1.8.2

$x^{2} - 3$ を $3 (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 2.1.8.3

$x^{2} - 3$ を $(x^{2} - 3) (- 8 x) + (x^{2} - 3) (3 (x^{2} + 1))$ で因数分解します。

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 (x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 2.1.9

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

ステップ 2.1.10

$3$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 3) (- 8 x + 3 x^{2} + 3) = 0$

ステップ 2.1.11

項を並べ替えます。

$(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} - 3 = 0$

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

ステップ 2.3

$x^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x^{2} = 3$

ステップ 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

ステップ 2.3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{3}$

ステップ 2.3.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{3}$

ステップ 2.3.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 2.4

$3 x^{2} - 8 x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$3 x^{2} - 8 x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.2.2

$a = 3$ 、 $b = - 8$ 、および $c = 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2.3

簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 3$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2.3.1.2.2

$- 12$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2.3.1.3

$64$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2.3.1.4

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.2.3.1.4.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2.3.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

ステップ 2.4.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

ステップ 2.5

最終解は $(x^{2} - 3) (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

10進法形式：

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 2.21525043 \dots, 0.45141622 \dots$

ステップ 4

有限数学 例

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