有限数学例

$5 x + 8 y - 6 z = 14$ , $3 x + 4 y - 2 z = 8$ , $x + 2 y - 2 z = 3$

ステップ 1

連立方程式を行列形式で表します。

$[\begin{array}{c} 5 & 8 & - 6 \\ 3 & 4 & - 2 \\ 1 & 2 & - 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 14 \\ 8 \\ 3 \end{array}]$

ステップ 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 5 & 8 & - 6 \\ 3 & 4 & - 2 \\ 1 & 2 & - 2 \end{array}]$ .

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ステップ 2.1

Write $[\begin{array}{c} 5 & 8 & - 6 \\ 3 & 4 & - 2 \\ 1 & 2 & - 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 5 & 8 & - 6 \\ 3 & 4 & - 2 \\ 1 & 2 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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ステップ 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 2 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 2 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 8 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.2.9

Add the terms together.

$5 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 2 & - 2 \end{array} | - 8 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.3

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 2 & - 2 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$5 (4 \cdot - 2 - 2 \cdot - 2) - 8 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.3.2

行列式を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1.1

$4$ に $- 2$ をかけます。

$5 (- 8 - 2 \cdot - 2) - 8 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.3.2.1.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$5 (- 8 + 4) - 8 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.3.2.2

$- 8$ と $4$ をたし算します。

$5 \cdot - 4 - 8 | \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.4

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$5 \cdot - 4 - 8 (3 \cdot - 2 - 1 \cdot - 2) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.4.2

行列式を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$3$ に $- 2$ をかけます。

$5 \cdot - 4 - 8 (- 6 - 1 \cdot - 2) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.4.2.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$5 \cdot - 4 - 8 (- 6 + 2) - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.4.2.2

$- 6$ と $2$ をたし算します。

$5 \cdot - 4 - 8 \cdot - 4 - 6 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 2.5

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$5 \cdot - 4 - 8 \cdot - 4 - 6 (3 \cdot 2 - 1 \cdot 4)$

ステップ 2.5.2

行列式を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$5 \cdot - 4 - 8 \cdot - 4 - 6 (6 - 1 \cdot 4)$

ステップ 2.5.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$5 \cdot - 4 - 8 \cdot - 4 - 6 (6 - 4)$

ステップ 2.5.2.2

$6$ から $4$ を引きます。

$5 \cdot - 4 - 8 \cdot - 4 - 6 \cdot 2$

ステップ 2.6

行列式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$5$ に $- 4$ をかけます。

$- 20 - 8 \cdot - 4 - 6 \cdot 2$

ステップ 2.6.1.2

$- 8$ に $- 4$ をかけます。

$- 20 + 32 - 6 \cdot 2$

ステップ 2.6.1.3

$- 6$ に $2$ をかけます。

$- 20 + 32 - 12$

ステップ 2.6.2

$- 20$ と $32$ をたし算します。

$12 - 12$

ステップ 2.6.3

$12$ から $12$ を引きます。

$0$

$D = 0$

ステップ 3

Since the determinant is $0$ , the system cannot be solved using Cramer's Rule.

有限数学 例

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