有限数学例

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 2 & - 2 & - 1 \\ 3 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 2 & - 2 & - 1 \\ 3 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

2

$2$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

ステップ 1.1.3

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 0 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.1.4

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 0 \end{array} |

$0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.1.5

The minor for

a_{22}

$a_{22}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

2

$2$ deleted.

| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.1.6

Multiply element

a_{22}

$a_{22}$ by its cofactor.

- 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} |

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.1.7

The minor for

a_{32}

$a_{32}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

2

$2$ deleted.

| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.1.8

Multiply element

a_{32}

$a_{32}$ by its cofactor.

0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array} |

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.1.9

Add the terms together.

0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array} |

$0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array} |$

0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array} |

$0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 0 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.2

0

$0$ に

| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 0 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 3 & 0 \end{array} |$ をかけます。

0 - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array} |

$0 - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array} |$

ステップ 1.3

0

$0$ に

| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & - 1 \end{array} |$ をかけます。

0 - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} | + 0

$0 - 2 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} | + 0$

ステップ 1.4

| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

0 - 2 (1 \cdot 0 - 3 \cdot 1) + 0

$0 - 2 (1 \cdot 0 - 3 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1.1

0

$0$ に

1

$1$ をかけます。

0 - 2 (0 - 3 \cdot 1) + 0

$0 - 2 (0 - 3 \cdot 1) + 0$

ステップ 1.4.2.1.2

- 3

$- 3$ に

1

$1$ をかけます。

0 - 2 (0 - 3) + 0

$0 - 2 (0 - 3) + 0$

0 - 2 (0 - 3) + 0

$0 - 2 (0 - 3) + 0$

ステップ 1.4.2.2

0

$0$ から

3

$3$ を引きます。

0 - 2 \cdot - 3 + 0

$0 - 2 \cdot - 3 + 0$

0 - 2 \cdot - 3 + 0

$0 - 2 \cdot - 3 + 0$

0 - 2 \cdot - 3 + 0

$0 - 2 \cdot - 3 + 0$

ステップ 1.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

- 2

$- 2$ に

- 3

$- 3$ をかけます。

0 + 6 + 0

$0 + 6 + 0$

ステップ 1.5.2

0

$0$ と

6

$6$ をたし算します。

6 + 0

$6 + 0$

ステップ 1.5.3

6

$6$ と

0

$0$ をたし算します。

6

$6$

6

$6$

6

$6$

ステップ 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 3

Set up a

3 \times 6

$3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot 0 & - 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 \cdot 0 & - 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.1.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.2

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}

$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 3 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.3

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Multiply each element of

R_{2}

$R_{2}$ by

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ to make the entry at

2, 2

$2, 2$ a

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & 0 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & 0 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.4

Multiply each element of

R_{3}

$R_{3}$ by

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

3, 3

$3, 3$ a

1

$1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

Multiply each element of

R_{3}

$R_{3}$ by

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

3, 3

$3, 3$ a

1

$1$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.4.2

R_{3}

$R_{3}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

ステップ 4.5

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - \frac{3}{2} R_{3}

$R_{2} = R_{2} - \frac{3}{2} R_{3}$ to make the entry at

2, 3

$2, 3$ a

0

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - \frac{3}{2} R_{3}

$R_{2} = R_{2} - \frac{3}{2} R_{3}$ to make the entry at

2, 3

$2, 3$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{3}{2} (- \frac{1}{3}) \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

ステップ 4.5.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

ステップ 4.6

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - R_{3}

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at

1, 3

$1, 3$ a

0

$0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} - R_{3}

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at

1, 3

$1, 3$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

ステップ 4.6.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

ステップ 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

[\begin{array}{c} 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array}]$

有限数学 例

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