微分積分例

$\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} d x$

ステップ 2

$u = x^{3} + 8$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$u = x^{3} + 8$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x^{3} + 8$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $x^{3} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 2.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

ステップ 2.1.4

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 2.1.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

ステップ 3.2

$3$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$3 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

ステップ 5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 5.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 5.1.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 5.1.3

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$ に $1$ をかけます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 5.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 5.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 5.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 5.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $x^{3} + 8$ で置き換えます。

$2 {(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例