微分積分例

$y = \frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x) + \cos (x)}{e^{x}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

ステップ 3.2

和の法則を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

${(e^{x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

ステップ 3.2.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3.2.2

総和則では、 $\sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

ステップ 3.5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (- \sin (x) - \cos (x)) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.4.1

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.6.4.1.1

$e^{x} \cos (x)$ と $- \cos (x) e^{x}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.4.1.2

$e^{x} \cos (x)$ から $e^{x} \cos (x)$ を引きます。

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x} + 0}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.4.1.3

$e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.4.3

$- e^{x} \sin (x)$ から $\sin (x) e^{x}$ を引きます。

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ステップ 3.6.4.3.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$\frac{- e^{x} \sin (x) - 1 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.4.3.2

$- e^{x} \sin (x)$ から $e^{x} \sin (x)$ を引きます。

$\frac{- 2 e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.5

$e^{x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.5.1

$e^{2 x}$ を $- 2 e^{x} \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x}}$

ステップ 3.6.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.5.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 3.6.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} (- 2 e^{- x} \sin (x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 3.6.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2 e^{- x} \sin (x)}{1}$

ステップ 3.6.5.2.4

$- 2 e^{- x} \sin (x)$ を $1$ で割ります。

$- 2 e^{- x} \sin (x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - 2 e^{- x} \sin (x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 2 e^{- x} \sin (x)$

微分積分 例

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