微分積分例

$y = 4 x - x^{2}$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 3$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$4 x - x^{2} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $4 x - x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.1.1

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$4 u - u^{2} = 0$

ステップ 1.2.1.2

$u$ を $4 u - u^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.1.2.1

$u$ を $4 u$ で因数分解します。

$u \cdot 4 - u^{2} = 0$

ステップ 1.2.1.2.2

$u$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot 4 + u (- u) = 0$

ステップ 1.2.1.2.3

$u$ を $u \cdot 4 + u (- u)$ で因数分解します。

$u (4 - u) = 0$

ステップ 1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$x (4 - x) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$4 - x = 0 + y = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.4

$4 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$4 - x$ が $0$ に等しいとします。

$4 - x = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $4 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- x = - 4$

ステップ 1.2.4.2.2

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.2.4.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 1.2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x = 4$

ステップ 1.2.5

最終解は $x (4 - x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4$

ステップ 1.3

$0$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(0, 0)$

$(4, 0)$

$(0, 0)$

$(4, 0)$

ステップ 2

$4 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$y = - x^{2} + 4 x$

ステップ 3

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

ステップ 4

積分し、 $1$ と $3$ の間の面積を求めます。

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ステップ 4.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x - (0) d x$

ステップ 4.2

$- x^{2} + 4 x$ から $0$ を引きます。

$\int_{1}^{3} - x^{2} + 4 x d x$

ステップ 4.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{3} - x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 4 x d x$

ステップ 4.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

ステップ 4.6

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 4 x d x$

ステップ 4.7

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 \int_{1}^{3} x d x$

ステップ 4.8

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3})$

ステップ 4.9

答えを簡約します。

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ステップ 4.9.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

ステップ 4.9.2

代入し簡約します。

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ステップ 4.9.2.1

$3$ および $1$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3})$

ステップ 4.9.2.2

$3$ および $1$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3

簡約します。

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ステップ 4.9.2.3.1

$3$ を $3$ 乗します。

$- (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.2

$27$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.9.2.3.2.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.9.2.3.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$- (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.2.2.4

$9$ を $1$ で割ります。

$- (9 - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- (9 - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.4

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.5

$9$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.6

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.9.2.3.7.1

$9$ に $3$ をかけます。

$- \frac{27 - 1}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.7.2

$27$ から $1$ を引きます。

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.8

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

ステップ 4.9.2.3.9

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

ステップ 4.9.2.3.10

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{9 - 1}{2}$

ステップ 4.9.2.3.11

$9$ から $1$ を引きます。

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{8}{2})$

ステップ 4.9.2.3.12

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.9.2.3.12.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2}$

ステップ 4.9.2.3.12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.9.2.3.12.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

ステップ 4.9.2.3.12.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{26}{3} + 4 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.9.2.3.12.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{26}{3} + 4 (\frac{4}{1})$

ステップ 4.9.2.3.12.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$- \frac{26}{3} + 4 \cdot 4$

ステップ 4.9.2.3.13

$4$ に $4$ をかけます。

$- \frac{26}{3} + 16$

ステップ 4.9.2.3.14

$16$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- \frac{26}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.9.2.3.15

$16$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- \frac{26}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.9.2.3.16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 26 + 16 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.9.2.3.17

分子を簡約します。

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ステップ 4.9.2.3.17.1

$16$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 26 + 48}{3}$

ステップ 4.9.2.3.17.2

$- 26$ と $48$ をたし算します。

$\frac{22}{3}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例