微分積分例

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

式を簡約します。

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ステップ 1.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

$x - 1 - x - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ を ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 2 \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.1.2.2

${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 2}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$- 2 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$4 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$4 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

ステップ 2.3.5.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4 {(x - 1)}^{- 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 2.4.2

$4$ と $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

ステップ 3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$ です。

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例