微分積分例

$y = x^{2} \sin (2 x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (2 x))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$x^{2} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.3.2

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$x^{2} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (2 x)$

ステップ 3.3.5

項を並べ替えます。

$2 x^{2} \cos (2 x) + 2 x \sin (2 x)$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 2 x^{2} \cos (2 x) + 2 x \sin (2 x)$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} \cos (2 x) + 2 x \sin (2 x)$

微分積分 例

微分積分例