微分積分例

$\sin (4 y) = x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\sin (4 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $4 y$ で置き換えます。

$\cos (4 y) \frac{d}{d x} [4 y]$

ステップ 2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 y$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$\cos (4 y) (4 \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\cos (4 y) (4 y')$

ステップ 2.4

$\cos (4 y) (4 y')$ の因数を並べ替えます。

$4 \cos (4 y) y'$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$4 \cos (4 y) y' = 1$

ステップ 5

$4 \cos (4 y) y' = 1$ の各項を $4 \cos (4 y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$4 \cos (4 y) y' = 1$ の各項を $4 \cos (4 y)$ で割ります。

$\frac{4 \cos (4 y) y'}{4 \cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cos (4 y) y'}{4 \cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

ステップ 5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\cos (4 y) y'}{\cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

ステップ 5.2.2

$\cos (4 y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (4 y) y'}{\cos (4 y)} = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

ステップ 5.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{4 \cos (4 y)}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分数を分解します。

$y' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\cos (4 y)}$

ステップ 5.3.2

$\frac{1}{\cos (4 y)}$ を $\sec (4 y)$ に変換します。

$y' = \frac{1}{4} \sec (4 y)$

ステップ 5.3.3

$\frac{1}{4}$ と $\sec (4 y)$ をまとめます。

$y' = \frac{\sec (4 y)}{4}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (4 y)}{4}$

微分積分 例

微分積分例