微分積分例

$\tan (x y) = x$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\tan (x y)) = \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$\sec^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sec^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (x y) (x y' + y)$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$\sec^{2} (x y) (x y') + \sec^{2} (x y) y$

ステップ 2.6.2

項を並べ替えます。

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$

ステップ 3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y) = 1$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$x \sec^{2} (x y) y' + y \sec^{2} (x y)$ の因数を並べ替えます。

$x y' \sec^{2} (x y) + y \sec^{2} (x y) = 1$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $y \sec^{2} (x y)$ を引きます。

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$

ステップ 5.3

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ の各項を $x \sec^{2} (x y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$x y' \sec^{2} (x y) = 1 - y \sec^{2} (x y)$ の各項を $x \sec^{2} (x y)$ で割ります。

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y' \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

ステップ 5.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

ステップ 5.3.2.2

$\sec^{2} (x y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' \sec^{2} (x y)}{\sec^{2} (x y)} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

ステップ 5.3.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

$\sec^{2} (x y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y \sec^{2} (x y)}{x \sec^{2} (x y)}$

ステップ 5.3.3.1.1.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} + \frac{- y}{x}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \sec^{2} (x y)} - \frac{y}{x}$

微分積分 例

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