微分積分例

$f (x) = x^{2} + x - 12$ ; $[0, 24]$

ステップ 1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[0, 24]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} + x - 12 d x)$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} d x + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24}$ と $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

ステップ 9.1.2

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ と $- 12 x]_{0}^{24}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x]_{0}^{24})$

ステップ 9.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$24$ および $0$ で $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 24^{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2

簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$24$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 13824 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $13824$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{13824}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.3

$13824$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.3.1

$3$ を $13824$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{4608}{1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.3.2.4

$4608$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.4

$24$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 576 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.5

$\frac{1}{2}$ と $576$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{576}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.6

$576$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.6.1

$2$ を $576$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 (1)} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 \cdot 1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{288}{1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.6.2.4

$288$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 288 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.7

$4608$ と $288$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.8

$- 12$ に $24$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 288 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.9

$4896$ から $288$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.10

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.11

$\frac{1}{3}$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.12

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.13

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0 - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.14

$0$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 - 12 \cdot 0))$

ステップ 9.2.2.15

$- 12$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0))$

ステップ 9.2.2.16

$0$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - 0)$

ステップ 9.2.2.17

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 0)$

ステップ 9.2.2.18

$4608$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608)$

ステップ 10

分母を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{24 + 0} \cdot 4608$

ステップ 10.2

$24$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot 4608$

ステップ 11

$24$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.1

$24$ を $4608$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 (192))$

ステップ 11.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 \cdot 192)$

ステップ 11.3

式を書き換えます。

$A (x) = 192$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例